Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche z [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2}*z^n [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe kam in der Klausur vor und ich kam an einer Stelle nicht weiter. Wollte den Konvergenzradius mit Hilfe des Wurzelkriteriums herausbekommen:
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{2^n+n^2}} [/mm] = [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n+n^2}}
[/mm]
genau hier hat's gehakt :) habe dann in den Taschenrechner einfach einen großen Wert für n eingetippt und bin so auf den Konvergenzradius 2 gekommen.
Wäre nett wenn mir jemand die Begründung liefern bzw. einen Tipp zum weitermachen geben kann.
Viele Grüße, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Do 11.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche z [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2}*z^n[/mm]
> Hallo,
>
> diese Aufgabe kam in der Klausur vor und ich kam an einer
> Stelle nicht weiter. Wollte den Konvergenzradius mit Hilfe
> des Wurzelkriteriums herausbekommen:
>
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{2^n+n^2}}[/mm]
> =
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n+n^2}}[/mm]
>
> genau hier hat's gehakt :) habe dann in den Taschenrechner
> einfach einen großen Wert für n eingetippt und bin so auf
> den Konvergenzradius 2 gekommen.
>
> Wäre nett wenn mir jemand die Begründung liefern bzw.
> einen Tipp zum weitermachen geben kann.
>
> Viele Grüße, Gratwanderer
klar. Es gilt [mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2^n+n^2}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2^n+n^2}}=\frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^n+n^2}}$. [/mm] (Warum?)
Ferner gilt für jedes $n [mm] \in \IN_{\ge 4}:=\{m \in \IN: m \ge 4\}$ [/mm]
[mm] $$2^n \le 2^n+n^2 \le 2^n+2^n=2*2^n\,.$$
[/mm]
(Denn: [mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] ist für [mm] $n=4\,$ [/mm] klar ($16 [mm] \le [/mm] 16$). Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n^2\le2^n$, [/mm] so folgt
[mm] $$2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n \underset{Ind.-Vor.}{\ge} n^2+n^2=2n^2\,.$$
[/mm]
Und
[mm] $$(n+1)^2=n^2+2n+1 \le 2n^2 \gdw [/mm] 0 [mm] \le n^2-2n-1=(n-1)^2-2$$ [/mm]
gilt sowieso schon für alle $n [mm] \ge 3\,$ [/mm] (wieso?), also folgt mit obigen nun insgesamt
[mm] $$2^{n+1}=2^n+2^n \ge 2n^2 \ge (n+1)^2\,,$$
[/mm]
womit der Induktionsschritt gelungen ist.)
Um nun [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^n+n^2}=2$ [/mm] einzusehen:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge 4\,,$ [/mm] so gilt also
[mm] $$2^n \le n^2+2^n \le 2*2^n\,.$$
[/mm]
Die Funktion $x [mm] \mapsto \sqrt[n]{x}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist (streng) monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$ [/mm] Also folgt aus
[mm] $$2^n \le n^2+2^n \le 2*2^n$$
[/mm]
nun
[mm] $$\sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{n^2+2^n} \le \sqrt[n]{2*2^n}=\sqrt[n]{2}*\sqrt[n]{2^n}\,.$$
[/mm]
Der Rest folgt dann aus dem Einschließkriterium (Sandwichkriterium) unter Beachtung von [mm] $\sqrt[n]{2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}1\,.$
[/mm]
P.S.:
Du weißt nun, dass die Reihe auf [mm] $\{z \in \IR: |z| < 2\}$ [/mm] sicher konvergiert. Um alle diese $z [mm] \in \IR$ [/mm] anzugeben oder sicher zu sein, nun schon alle diese angegeben zu haben, bedarf es noch der Untersuchung von zwei weiteren Kandidaten. Denn klar ist nun auch nur, dass die Reihe auf [mm] $\{z \in \IR: |z| > 2\}$ [/mm] divergiert. Aber ob die Reihe für Punkte [mm] $\{z \in \IR: |z|=2\}$ [/mm] divergiert oder konvergiert, ist noch separat zu untersuchen. Du musst also noch prüfen, ob Deine Reihe in [mm] $z_1=2$ [/mm] konvergiert oder divergiert und auch, ob sie in [mm] $z_2=-2$ [/mm] konvergiert oder divergiert.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Do 11.02.2010 | | Autor: | Marcel |
[mm] $$\frac{2^n}{n^2+2^n} \ge \frac{2^n}{2^n+2^n}\;\;\;(n \ge [/mm] 4)$$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Do 11.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Wäre [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2+2^n}$ [/mm] für [mm] $z=\pm [/mm] 2$ konvergent, so müsste [mm] $\left|\frac{z^n}{n^2+2^n}\right| \to [/mm] 0$ für [mm] $z=\pm [/mm] 2$ gelten. Gilt denn
[mm] $$\frac{2^n}{n^2+2^n} \to 0\text{ ?}$$
[/mm]
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