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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n}
[/mm]
den Konvergenzradius 1 hat. |
Hallo ihr Lieben,
ich bin mal wieder dringend auf eure Hilfe angewiesen denn ich schreibe am Samstag Klausur und bei diesem Thema habe ich echt absolut keine Ahnung.
Ich habe zwei verschiedene Formeln:
zum Einen: [mm] R=\bruch{1}{L} [/mm] mit L= lim sup [mm] \wurzel[n]{a_{n}}
[/mm]
(der Ausdruck unter der Wurzel in Betrag)
zum Anderen: [mm] R=\bruch{1}{q} [/mm] mit q= lim [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] falls der Grenzwert existiert.
So jetz weiss ich aber leider nicht, welche von den beiden Formeln ich benutzen soll/muss/darf und wenn ich die erste benutzen soll, dann wie man den Limes Superior berechnen kann...
Vielen Dank schonmal im Vorraus an alle, die sich hier mit mir quälen...
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 23.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo stoffffel!
Grundsätzlich darfst Du beide Formeln verwenden, wenn ihr diese im Unterricht / Vorlesung eingeführt habt. Es kommt teilweise auf die betrachtete Potenzreihe drauf an, welche von beiden Formeln sich eher anbietet.
In Deinem Beispiel funktionieren beide gleichermaßen:
$R \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{\left|a_n\right|}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{\left|(-1)^n\right|}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1} [/mm] \ = \ 1$
Wegen des [mm] $z^{\red{2}n} [/mm] \ = \ [mm] \left(z^n\right)^{\red{2}}$ [/mm] musst Du hier noch daraus die (Quadrat-)Wurzel ziehen, was aber denselben Wert liefert.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 24.01.2007 | | Autor: | stofffffel |
Vielen lieben Dank für deine tolle Hilfe...
Jetzt wird das alles verständlicher, sogar für mich  > Hallo stoffffel!
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