Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 02.07.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^{n} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{2n+3}} *(x+\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe. |
Hi zusammen.
Im folgenden gehts um die Aufgabenlösung, da ich meinen Fehler nicht entdecken kann. Also: Mit dem Wurzelkriterium (in der Musterlösung wird es mit Quot. gemacht - was ich auch verstehe, aber meinen Fehler finde ich nicht.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{(\bruch{1}{3})^{n} * \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{2n+3}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{2n+3}}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \
[/mm]
hm hier fällt er mir nun doch auf.
habe die n-te wurzel unterschlagen und eine einfache daraus gemacht.
am ende kommt dann [mm] \bruch{1}{3}*\wurzel[n+1]{\bruch{1}{2}}
[/mm]
wo mir doch noch eine Frage einfällt.
Ist die n-te wurzel aus einer Konstanten immer 1 ? also limes für n gegen unendlich angenommen.
Danke für die dann doch etwas kleinere Frage.
Mfg
Florian
Habe die Frage nur heir gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Florian!
Bei der einen Umformung hast Du einen Fehler gemacht und die  Potenzgesetze missachtet:
[mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$
[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}* \wurzel{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{2n+3}}}[/mm]
> am ende kommt dann [mm]\bruch{1}{3}*\wurzel[n+1]{\bruch{1}{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\wurzel[n]{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{2n+3}}} \ = \ \wurzel[n]{\wurzel{\bruch{n+1}{2n+3}}} \ = \ \left[\left(\bruch{n+1}{2n+3}\right)^{\bruch{1}{2}\right]^{\bruch{1}{n}} \ = \ \left(\bruch{n+1}{2n+3}\right)^{\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}} \ = \ \wurzel[2n]{\bruch{n+1}{2n+3}}$
> Ist die n-te wurzel aus einer Konstanten immer 1 ? also
> limes für n gegen unendlich angenommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja! Es gilt sogar $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
