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Hallo
Hab folgendes Problem
Berechnen sie den Konverenzradius von
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{x^n^n}{2^n}
[/mm]
ich setze [mm] x^n=z
[/mm]
dann ist
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{1}{2^n}*z^n
[/mm]
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{2^n}}}=2
[/mm]
kann ich jetzt einfach auf [mm] x^n^n [/mm] schließen indem ich [mm] ...r=\wurzel[n]{2} [/mm] das kann ja nicht stimmen
Wie schließe ich richtig von [mm] x^n [/mm] auf [mm] x^n^n
[/mm]
Danke Stevo
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Hallo stevarino!
Der Konvergenzradius berechnet sich ja letztlich aus dem Wurzelkriterium. Gesucht sind also die $x$, für die [mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac {x^n^n}{2^n}\right|}<1$ [/mm] gilt.
Formen wir mal um:
[mm] $\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac {x^n^n}{2^n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{x^n}{2}\right|=\begin{cases}
\infty, &\mbox{falls } |x|>1,\\\bruch 12, &\mbox{falls } |x|=1,\\
0 , &\mbox{falls } |x|<2.
\end{cases}$.
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius 1.
Mit der Substitution, die du gemacht hast, kommst du im übrigen auf dasselbe Ergebnis! Du musst eigentlich nur noch bedenken, dass $|x|< [mm] \sqrt[n]2$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] sein muss...
Gruß, banachella
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