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Konvergenzradius: Korrektur / Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 15.06.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen

(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}cos(\pi n)z^n [/mm] (b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n^2}z^n [/mm]

(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^n} [/mm]  (d) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} exp(-i\wurzel{n})*z^n [/mm]

Hallo! Wäre nett wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw. einen Tipp zu (d) geben könnte.

a) Hier bietet sich an den Konvergenzradius zu berechnen mit [mm] r=\lim_{n\to\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{cos(\pi n)}{cos(\pi (n+1))}|=|-1|=1 [/mm]

b) Wurzelkriterium:

[mm] r=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|(1+\bruch{1}{n})^{n^2}|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}|(1+\bruch{1}{n})^{n}|}=\bruch{1}{e} [/mm]

c) Ebenso: [mm] r=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|n^n|}}=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}n}=0 [/mm]

Soweit richtig?

Bei (d) stehe ich etwas auf dem Schlauch.. kann mir da jemand einen Ansatz bzw eine Idee verraten??

Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Fr 15.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo chesn,


> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
>  
> (a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}cos(\pi n)z^n[/mm] (b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n^2}z^n[/mm]
>  
> (c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^n}[/mm]  (d)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} exp(-i\wurzel{n})*z^n[/mm]
>  Hallo! Wäre
> nett wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw.
> einen Tipp zu (d) geben könnte.
>  
> a) Hier bietet sich an den Konvergenzradius zu berechnen
> mit
> [mm]r=\lim_{n\to\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{cos(\pi n)}{cos(\pi (n+1))}|=|-1|=1[/mm] [ok]
>  
> b) Wurzelkriterium:

Cauchy-Hadamard!

>  
> [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|(1+\bruch{1}{n})^{n^2}|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}|(1+\bruch{1}{n})^{n}|}=\bruch{1}{e}[/mm] [ok]
>  
> c) Ebenso:
> [mm]r=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|n^n|}}=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}n}=0[/mm]

Hier ist doch [mm]a_n=1/n^n[/mm] und nicht [mm]n^n[/mm] ...

>  
> Soweit richtig?

> Bei (d) stehe ich etwas auf dem Schlauch.. kann mir da
> jemand einen Ansatz bzw eine Idee verraten??

Ich überlege auch noch ...

>  
> Vielen Dank und liebe Grüße,
>  chesn

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 15.06.2012
Autor: Teufel

Hi!

Nutze ein Kriterium deiner Wahl (Quotieten- oder Wurzelkriterium z.B.) und beachte, dass [mm] |e^{i\varphi}|=1 [/mm] ist für alle [mm] \varphi \in \IR. [/mm]

Bezug
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