Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 17.03.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius r der Funktionenreihe:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{^n^+^1^}*\bruch{(x-2)^n}{3n^2-n}$
[/mm]
Geben Sie auch den Konvergenzbereich an. |
Hallo,
wir haben im Studium (2tes Semester) grade ein neuen Thema bekommen. Konvegenzradius und Taylorreihe. Da ich diesmal aber nicht wie im 1ten Semester am Anfang schon die Anschluss verlieren will, hoffe ich ihr könnt mir Weiterhelfen.
Also ich kenne die Formel für den Konvergenzradius. [mm] $r=\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}$ [/mm] Ich weiß jedoch nicht, wie ich rausfinde, was an und an+1 denn ist. Das verstehe ich nicht. Die darauffolgende Rechnen bekomme ich wahrscheinlich dann wieder hin.
Die nächste Frage ist, dass ich nicht genau verstehe, wie ich die einzelnen Ränder untersuchen muss.
Ich hoffe ich habe mich gut ausgedrückt.
Danke im Voraus!
Gruß
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Hallo!
> Berechnen Sie den Konvergenzradius r der Funktionenreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^(^n^+^1^)*\bruch{(x-2)^n}{3n^2-n}[/mm]
> Geben Sie auch den Konvergenzbereich an.
> wir haben im Studium (2tes Semester) grade ein neuen Thema
> bekommen. Konvegenzradius und Taylorreihe. Da ich diesmal
> aber nicht wie im 1ten Semester am Anfang schon die
> Anschluss verlieren will, hoffe ich ihr könnt mir
> Weiterhelfen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ich kenne die Formel für den Konvergenzradius.
> [mm]r=\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm] Ich weiß jedoch nicht, wie ich
> rausfinde, was an und an+1 denn ist. Das verstehe ich
> nicht. Die darauffolgende Rechnen bekomme ich
> wahrscheinlich dann wieder hin.
Es gibt zwei Formel für den Konvergenzradius: Die erste ist die allgemeinere, denn sie ist immer anwendbar:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] (Formel von Cauchy-Hadamard)
Die zweite hast du vorgeschlagen:
$r = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
[/mm]
Beachte, dass die Verwendung der zweiten Formel nur erlaubt ist, wenn fast alle [mm] $a_n \not= [/mm] 0$ sind und der Limes existiert!
So, nun zur wichtigen Frage: Was sind die [mm] $a_n$. [/mm] Eine Potenzreihe wird normalerweise in der Form [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] * [mm] (x-x_0)^{n}$ [/mm] geschrieben. Und die [mm] $a_n$ [/mm] dort, das sind die [mm] $a_n$ [/mm] aus den Formeln. Du musst also deine Potenzreihe in die Form bringen, dann kannst du die [mm] $a_n$ [/mm] ablesen.
Ein Beispiel: Die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{a_n}*x^n$, [/mm] d.h. hier ist [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$.
[/mm]
Wichtige Anmerkung und Übung für dich: Wenn deine Potenzreihe zum Beispiel so aussieht: [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}$, [/mm] dürftest du die zweite Formel zur Berechnung des Konvergenzradius nicht anwenden. Warum?
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> Die nächste Frage ist, dass ich nicht genau verstehe, wie
> ich die einzelnen Ränder untersuchen muss.
Wenn du den Konvergenzradius $r$ einer Potenzreihe berechnet hast, dann weißt du bereits, dass die Reihe für $|x|>r$ divergiert und für $|x| < r$ konvergiert.
Es ist dann noch zu untersuchen, was mit den Werten $|x| = r$ passiert. Wir führen mal obiges Beispiel fort:
[mm] $\sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n^2}$, [/mm] es war [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$. [/mm] Zunächst bestimmen wir den Konvergenzradius mit Hilfe der zweiten Formel:
$r = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2} [/mm] = 1$.
Zu untersuchen sind also jetzt noch die Werte [mm] x\in\IR [/mm] mit $|x| = 1$. Für x = -1 ist die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n^2}$, [/mm] für x = 1 ist die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n^2}$.
[/mm]
In beiden Fällen liegen absolut konvergente Reihen vor, wie dir vielleicht bekannt ist.
Damit ist der Konvergenzbereich: $[-1,1]$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 17.03.2011 | | Autor: | Haiza |
> Wichtige Anmerkung und Übung für dich: Wenn deine
> Potenzreihe zum Beispiel so aussieht:
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}[/mm], dürftest du die zweite Formel
> zur Berechnung des Konvergenzradius nicht anwenden. Warum?
>
Öhm weil [mm] $a_n$ [/mm] dort 0 werden kann und somit nicht mehr die Bedingung erfüllt ist, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] ungleich 0 sein müssen?
> [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n^2}[/mm], es war [mm]a_n = \frac{1}{n^2}[/mm].
> Zunächst bestimmen wir den Konvergenzradius mit Hilfe der
> zweiten Formel:
>
> [mm]r = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2} = 1[/mm].
Hm wie kommst du darauf das [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1} [/mm] ? Du hast es zwar oben erklärt aber irgendwie steig ich da bei diesem Beispiel nicht durch
> In beiden Fällen liegen absolut konvergente Reihen vor,
> wie dir vielleicht bekannt ist.
>
> Damit ist der Konvergenzbereich: [mm][-1,1][/mm].
Was, wo, wieso? Das war zu schnell. Sorry!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Wichtige Anmerkung und Übung für dich: Wenn deine
> > Potenzreihe zum Beispiel so aussieht:
> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}[/mm], dürftest du die zweite Formel
> > zur Berechnung des Konvergenzradius nicht anwenden. Warum?
> >
>
> Öhm weil [mm]a_n[/mm] dort 0 werden kann und somit nicht mehr die
> Bedingung erfüllt ist, dass alle [mm]a_n[/mm] ungleich 0 sein
> müssen?
>
> > [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n^2}[/mm], es war [mm]a_n = \frac{1}{n^2}[/mm].
> > Zunächst bestimmen wir den Konvergenzradius mit Hilfe der
> > zweiten Formel:
> >
> > [mm]r = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2} = 1[/mm].
>
> Hm wie kommst du darauf das [mm]$a_n$[/mm] und [mm]$a_{n+1}[/mm] ? Du hast es
> zwar oben erklärt aber irgendwie steig ich da bei diesem
> Beispiel nicht durch
Ein Potenzreihe ist eine Funktionenreihe der Form [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cdot{} (x-x_0)^{n} [/mm] $
Im Beispiel $ [mm] \sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n^2} [/mm] $ ist [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] a_n= \frac{1}{n^2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
Stefan hat Dir vorgerechnet, dass der Konvergenzradius = 1 ist.
>
> > In beiden Fällen liegen absolut konvergente Reihen vor,
> > wie dir vielleicht bekannt ist.
> >
> > Damit ist der Konvergenzbereich: [mm][-1,1][/mm].
>
> Was, wo, wieso? Das war zu schnell. Sorry!
Die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n^2} [/mm] $ hat den Konvergenzradius 1, also konv. sie für x [mm] \in [/mm] (-1,1) und sie divergiert für |x|>1.
Dann muß noch geklärt werden ob sie für x = [mm] \pm [/mm] 1 konv. oder div.
Für x=1 erhältst Du die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n^2} [/mm] $ . Ist diese Reihe konv. oder divergent ?
Für x=-1 erhältst Du die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n^2} [/mm] $ . Ist diese Reihe konv. oder divergent ?
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Haiza |
> Dann muß noch geklärt werden ob sie für x = [mm]\pm[/mm] 1 konv.
> oder div.
>
> Für x=1 erhältst Du die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n^2}[/mm]
> . Ist diese Reihe konv. oder divergent ?
>
> Für x=-1 erhältst Du die Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm] . Ist diese Reihe konv.
> oder divergent ?
Also erstmal: Warum ist bei x=1 die 1 im Zähler alleine, also warum steht sie ohne $^{n}$ ? Denn bei x=-1 steht die -1 in Klammern mit einem $^{n}$
Und leider kann ich nicht erkennen ob sie konvergennt oder divergent sind. Oh ich bin eine Niete in Mathe... :-(
Habe mit "hängen und würgen" in Mathe I eine 2,7 geschrieben.
Würde mich über weitere Hilfe sehr freuen.
Gruß
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Hallo,
> > Dann muß noch geklärt werden ob sie für x = [mm]\pm[/mm] 1 konv.
> > oder div.
> >
> > Für x=1 erhältst Du die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n^2}[/mm]
> > . Ist diese Reihe konv. oder divergent ?
> >
> > Für x=-1 erhältst Du die Reihe
> > [mm]\sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm] . Ist diese Reihe konv.
> > oder divergent ?
>
> Also erstmal: Warum ist bei x=1 die 1 im Zähler alleine,
> also warum steht sie ohne [mm]^{n}[/mm] ? Denn bei x=-1 steht die -1
> in Klammern mit einem [mm]^{n}[/mm]
Große Wiederholungsstunde:
Die Reihe im Bsp. ist [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}x^n$
[/mm]
Der Konvergenzradius wurde zu [mm] $\rho=1$ [/mm] berechnet, mithin hast du (absolute) Konvergenz für $|x|<1$ und auch sicher Divergenz für $|x|>1$
Wie es an den Randpunkten, also für $|x|=1$, also [mm] $x=\pm [/mm] 1$ aussieht, musst du durch Einsetzen in die Reihe untersuchen.
$x=1$:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}1^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Was weißt du aus der VL über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] in Abhängigkeit von $s$ ?
Bleibt $x=-1$
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}(-1)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Die ist eine alternierende Reihe, für die Konvergenzuntersuchung von alternierenden Reihen habt ihr mit Sicherheit ein Kriterium kennengelernt ...
>
> Und leider kann ich nicht erkennen ob sie konvergennt oder
> divergent sind. Oh ich bin eine Niete in Mathe... :-(
> Habe mit "hängen und würgen" in Mathe I eine 2,7
> geschrieben.
>
> Würde mich über weitere Hilfe sehr freuen.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Haiza |
So wir haben nun eben die Lösungen der Aufgaben Online gestellt bekommen inkl. Rechenweg. Das ist serh schön. Meine Fragen haben sich alle, bis auf eine, erübrigt.
Ich brauche nur noch Hilfe bei einer Sache:
Woran erkenne ich, wenn ich die Ränder des Konvergenzradius eingesetzt habe, ob die Reihe nun konvergiert oder divigergiert?
Gruß und Danke!
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Hallo nochmal,
> So wir haben nun eben die Lösungen der Aufgaben Online
> gestellt bekommen inkl. Rechenweg. Das ist serh schön.
> Meine Fragen haben sich alle, bis auf eine, erübrigt.
>
> Ich brauche nur noch Hilfe bei einer Sache:
>
> Woran erkenne ich, wenn ich die Ränder des
> Konvergenzradius eingesetzt habe, ob die Reihe nun
> konvergiert oder divigergiert?
Na, du musst dann ein "passendes" Konvergenzkriterium zu Rate ziehen.
Alles, was ihr kennengelernt habt, ist erlaubt.
Quotientenkrit., Wurzelkrit. usw. usf.
Siehe auch oben zu dem Bsp.
>
> Gruß und Danke!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 20.03.2011 | | Autor: | Haiza |
> Na, du musst dann ein "passendes" Konvergenzkriterium zu
> Rate ziehen.
>
> Alles, was ihr kennengelernt habt, ist erlaubt.
Ah okay, also wir hatten nur einmal das Quotientenkriterium kennen gelernt. Naja was heißt kennen gelernt. Der Prof hat es in einer rasenden Geschwindigkeit an die Tafel geklatscht.
Nur leider ist das für mich alles zu schnell, um es beim ersten Mal sofort zu verstehen, ich muss mich halt im Nachhinein damit nochmal beschäftigen.
Leider verstehe ich das Qutientenkriterium kaum. Kann mir nochmal einer eine kurze Nachhilfe geben? Ansonsten läufts mitlerweile ein wenig besser, umso mehr man sich damit beschäftigt.
Gruß und vielen Dank!
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Wikipedia: Quotientenkriterium