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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ln(2n)}{2^{n}n^{3}}*z^{n} [/mm] , [mm] z\in\IC [/mm] |
Guten Tag,
habe es hier mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \bruch{ln(2n+2)}{2^{n+1}(n+1)^{3}}* \bruch{2^{n}n^{3}}{ln(2n)} [/mm] =
[mm] \bruch{ln(2n+2)}{2(n+1)^{3}}* \bruch{n^{3}}{ln(2n)} [/mm] =
[mm] \bruch{ln(2n+2)}{ln(2n)}* \bruch{n^{3}}{2(n+1)^{3}}
[/mm]
und ab da weiß ich leider nicht wirklich weiter. hat jemand einen tipp für mich?
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Hallo Loriot,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ln(2n)}{2^{n}n^{3}}*z^{n}[/mm] ,
> [mm]z\in\IC[/mm]
> Guten Tag,
>
> habe es hier mit dem Quotientenkriterium versucht:
>
> [mm]\bruch{ln(2n+2)}{2^{n+1}(n+1)^{3}}* \bruch{2^{n}n^{3}}{ln(2n)}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{ln(2n+2)}{2(n+1)^{3}}* \bruch{n^{3}}{ln(2n)}[/mm] =
> [mm]\bruch{ln(2n+2)}{ln(2n)}* \bruch{n^{3}}{2(n+1)^{3}}[/mm]
>
> und ab da weiß ich leider nicht wirklich weiter. hat
> jemand einen tipp für mich?
Das ist doch schon sehr gut, nun die Grenzbetrachtung:
Es strebt [mm]\frac{\ln(2n+2)}{\ln(2n)}[/mm] gegen [mm]1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Wieso?
Und [mm]\frac{n^3}{(n+1)^3}=\frac{n^3}{n^3\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}[/mm] strebt auch gegen 1
Und der Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] bleibt.
Fazit: [mm]GW=\frac{1}{2}[/mm], somit (absolute) Konvergenz für [mm]|z|<2[/mm] und Divergenz für [mm]|z|>2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke :)
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