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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 08.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Für welche x konvergiert die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}
[/mm]
Wenn ich mir den ganzen Spaß mal mit dem Quotientenkriterium anschaue, kommt folgendes raus:
[mm] \bruch{\bruch{x^{2i+3}}{(2i+3)!}}{\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{2i+3}}{(2i+3)!} [/mm] * [mm] \bruchY{(2i+1)!}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^2}{(2i+2)(2i+3)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{4i^2+10i+6}
[/mm]
Das bringt mir doch herzlich wenig oder?
Anderer Vorschlag von mir wäre:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!} [/mm]
Wähle k = 2i+1
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2i+1}^{2n+1}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}
[/mm]
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!} [/mm] =< [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{2n+1}\bruch{x^{k}}{(k)!}
[/mm]
das wäre also < [mm] e^x.
[/mm]
Das wäre dann eine konvergente Majorante zu jedem x?
Vielen Dank für die Hilfe
Hoffe ich habe mich auf die schnelle nicht vertippt
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Hallo hilbert,
> Für welche x konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}[/mm]
>
> Wenn ich mir den ganzen Spaß mal mit dem
> Quotientenkriterium anschaue, kommt folgendes raus:
>
> [mm]\bruch{\bruch{x^{2i+3}}{(2i+3)!}}{\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}}[/mm]
Da fehlen Beträge !!
>
> = [mm]\bruch{x^{2i+3}}{(2i+3)!}[/mm] * [mm]\bruchY{(2i+1)!}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x^2}{(2i+2)(2i+3)}[/mm] =![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und was passiert hier für [mm] $i\to\infty$ [/mm] ?
Und was sagt das QK dazu?
> [mm]\bruch{x^2}{4i^2+10i+6}[/mm]
>
> Das bringt mir doch herzlich wenig oder?
>
>
> Anderer Vorschlag von mir wäre:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}[/mm]
>
> Wähle k = 2i+1
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=2i+1}^{2n+1}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}[/mm]
> =<
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{2n+1}\bruch{x^{k}}{(k)!}[/mm]
>
> das wäre also < [mm]e^x.[/mm]
> Das wäre dann eine konvergente Majorante zu jedem x?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
> Hoffe ich habe mich auf die schnelle nicht vertippt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 08.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Wie mache ich das denn, ohne den Limes im QK zu benutzen?
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Der Limes ist ja nur ein Hilfsmittel für dich(!) um eine Idee zu bekommen.
Wogegen geht denn der Limes und was hast du fürs QK zu zeigen?
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:49 Mi 08.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Der limes von dem Bruch geht gegen 0 für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Ich muss zeigen, dass [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_n \le [/mm] q mit q < 1.
Ich versteh das nicht -.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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