Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 24.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Falls [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] für ein [mm] z_0 \neq [/mm] 0 konvergiert, existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}. [/mm] |
Hallo,
Wir haben den Konvergenzradius einer Reihe über den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] definiert. Der obige Satz sagt aber aus, dass - unter der Voraussetzung, dass die Reihe für ein [mm] z_0 [/mm] konvergiert - der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] existiert (über welchen man dann den Konvergenzradius bestimmen kann). Wenn ich nachprüfen möchte, ob eine Reihe einen Konvergenzradius besitzt und falls ja, welchen, wie muss ich dann vorgehen? Der Satz ist ja kein "genau dann, wenn" Satz. Sprich, wenn ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] bestimme, heißt das noch nicht, dass die Reihe konvergiert, oder?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Do 24.09.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe ist gegeben durch
$R = ( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|})^{-1} [/mm] $
mit den Vereinbarungen $1/0 = [mm] \infty [/mm] $ und [mm] $1/\infty [/mm] = 0$
2. Zu Deiner Aufgabe: Dir ist sicher bekannt, dass eine beschränkte Folge reeller Zahlen immer einen Limes superior hat. Also ist zu zeigen: [mm] (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] ist beschränkt.
Da $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n [/mm] $ konvergiert ist [mm] (a_nz_0^n) [/mm] eine Nullfolge, also ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_nz_0^n| \le [/mm] 1$ für n >N
Zieht man die n-te Wurzel, so ergibt sich
[mm] $\wurzel[n]{|a_n|}*|z_0| \le [/mm] 1$ für n>N
Weil [mm] z_0 \not=0, [/mm]
[mm] $\wurzel[n]{|a_n|} \le \bruch{1}{|z_0|}$ [/mm] für n>N
FRED
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