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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 05.02.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzradius von:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1} [/mm] |
Hallo
ich habe mir folgendes gedacht, zunächst habe ich umgeschrieben:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2)^{2k+1}(x)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
Nun habe ich das WurzelKriterium angewandt:
[mm] \bruch{\wurzel[k]{(-1)^k(2)^{2k+1}}}{\wurzel[k]{2k+1}}=\bruch{\wurzel[k]{(-1)^k2*(2)^{2k}}}{\wurzel[k]{2k+1}}=\bruch{\wurzel[k]{(-1)^k}\wurzel[k]{2}\wurzel[k]{(2)^{2k}}}{\wurzel[k]{2k+1}}
[/mm]
Und nun habe ich mir überlegt:
[mm] \wurzel[k]{(-1)^k}=-1
[/mm]
[mm] \wurzel[k]{2} [/mm] geht für k gegen [mm] \infty [/mm] gegen 1
Und [mm] \wurzel[k]{(2)^{2k}} [/mm] entspricht [mm] 2^{2k*\bruch{1}{k}} [/mm] also [mm] 2^2=4
[/mm]
[mm] \wurzel[k]{2k+1} [/mm] geht für k gegen [mm] \infty [/mm] gegen 1
Und somit komme ich auf einen Konvergenzradius von [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] aber laut Musterlösung müsste es [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein. Was übersehe ich denn?
Vielen Dank
Gruß
Boki87
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Hallo boki,
> Bestimmen sie den Konvergenzradius von:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
> Hallo
>
> ich habe mir folgendes gedacht, zunächst habe ich
> umgeschrieben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2)^{2k+1}(x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich das WurzelKriterium angewandt:
>
> [mm]\bruch{\wurzel[k]{(-1)^k(2)^{2k+1}}}{\wurzel[k]{2k+1}}=\bruch{\wurzel[k]{(-1)^k2*(2)^{2k}}}{\wurzel[k]{2k+1}}=\bruch{\wurzel[k]{(-1)^k}\wurzel[k]{2}\wurzel[k]{(2)^{2k}}}{\wurzel[k]{2k+1}}[/mm]
Ääh, du musst doch [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\red{\left|}\frac{(-1)^k\cdot{}2^{2k+1}\cdot{}x^{2k+1}}{2k+1}\red{\right|}}$ [/mm] berechnen
Da kannst du das [mm] $|(-1)^k|=1$ [/mm] wegballern, das [mm] $\sqrt[k]{\left|2^{2k+1}\right|}$ [/mm] strebt gegen 4, das stimmt, die k-te Wurzel des Nenners geht auch gegen 1, das stimmte auch, aber was ist mit [mm] $\sqrt[k]{|x|^{2k+1}}=|x|^{\frac{2k+1}{k}}=|x|^{\frac{2k}{k}+\frac{1}{k}}=|x|^2\cdot{}|x|^{\frac{1}{k}}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] also gegen [mm] $|x|^2$
[/mm]
Das gesamte Biest geht also gegen [mm] $4\cdot{}|x|^2$
[/mm]
Also gem. WK Konvergenz für [mm] $4|x|^2<1$, [/mm] also [mm] $|x|^2<\frac{1}{4}$, [/mm] also [mm] $|x|<\frac{1}{2}$
[/mm]
Also Konvergenzradius wie in der Lösung [mm] =\frac{1}{2}
[/mm]
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> Und nun habe ich mir überlegt:
>
> [mm]\wurzel[k]{(-1)^k}=-1[/mm]
>
> [mm]\wurzel[k]{2}[/mm] geht für k gegen [mm]\infty[/mm] gegen 1
>
> Und [mm]\wurzel[k]{(2)^{2k}}[/mm] entspricht [mm]2^{2k*\bruch{1}{k}}[/mm]
> also [mm]2^2=4[/mm]
>
> [mm]\wurzel[k]{2k+1}[/mm] geht für k gegen [mm]\infty[/mm] gegen 1
>
> Und somit komme ich auf einen Konvergenzradius von
> [mm]\bruch{1}{4},[/mm] aber laut Musterlösung müsste es [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> sein. Was übersehe ich denn?
Du hast das [mm] $|x|^{2k+1}$ [/mm] vergessen
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> Boki87
>
LG
schachuzipus
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> Bestimmen sie den Konvergenzradius von:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
> Hallo
>
> ich habe mir folgendes gedacht, zunächst habe ich
> umgeschrieben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k(2)^{2k+1}(x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
Hallo,
ja, das ist gut: da siehst Du, daß zur (2k+1)-ten Potenz von x das Folgenglied [mm] \bruch{(-1)^k(2)^{2k+1}}{2k+1} [/mm] gehört.
Du müßtest nun die (2k+1)-te Wurzel des Betrages ziehen, oder Du machst noch den Umweg:
[mm] |a_n|=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{(2)^{n}}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Nun den limes superior der n-ten Wurzel.
Gruß v. Angela
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