Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo,
ich lerne gerade für eine mündliche analysis prüfung... arrr *schüttel* 
und dabei bin ich auf ein problem gestoßen.
wir haben in der vorlesung zwei formeln für den Konvergenzradius bekommen. euler und cauchy-hadamard.
nun habe ich gelesen, dass man euler nicht immer anwenden kann.
nun meine frage: weshalb nicht??
ein bsp war: [mm] x-\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5}-
[/mm]
cih freue mich über eine antwort
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Suzan,
> Hallo,
> ich lerne gerade für eine mündliche analysis prüfung...
> arrr *schüttel*
> und dabei bin ich auf ein problem gestoßen.
> wir haben in der vorlesung zwei formeln für den
> Konvergenzradius bekommen. euler und cauchy-hadamard.
> nun habe ich gelesen, dass man euler nicht immer anwenden
> kann.
> nun meine frage: weshalb nicht??
ist die Formel von Euler die mit [mm] $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$? [/mm] Es gilt i.a. nur die Folgerung, dass, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] existiert, dann existiert auch [mm] $\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] und in diesem Falle gilt [mm] $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.$
[/mm]
Alleine aus der Existenz von [mm] $\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] folgt allerdings noch nicht die von [mm] $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\,.$
[/mm]
Ein Beispiel dazu findest Du bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Konvergenzradius. (Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel...)
P.S.:
Ganz allgemein: Das ganze steht ja in engem Zusammenhang mit dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium (Satz 6.17 bzw. 6.19 von hier). Dort findet man ja ähnliche Aussagen (und anstelle von [mm] $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}\right|}$ [/mm] könnte man oben auch mit einem gewissen Limsup aus dem Quotientenkriterium arbeiten, sofern ich mich da gerade nicht vertue; leider bin ich etwas in Eile, aber frag' ruhig nochmal nach, ggf. kann ja auch zwischendurch jemand anderes antworten  ).
Soll heißen: Wer das Wurzel- und das Quotientenkriterium verstanden hat, versteht eigentlich unmittelbar die Formeln für den Konvergenzradius und die Zusammenhänge. Das muss man sich nur einmal klargemacht haben, dass hier eigtl. nur diese Kriterien angewendet werden, um den Konvergenzradius herzuleiten
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Gleiche Frage wie Marcel:
ist die Formel von Euler die mit $ [mm] \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] $
In Deinem Beispiel ist [mm] a_{n+1}= [/mm] 0 für jedes ungerade n
Deshalb ist u.a. Euler nicht immer anwendbar
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 14.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo,
also die formel von euler ist genau die, die ihr genannt habt.
allerdings versteh ich nicht warum a(n+1)= 0 ist
ich habe doch wenn ich die reihe als summe schreibe folgende form:
[mm] \summe_{n=0}^{unendl} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] * x^(2n+1)
dann erhalte ich für / [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] / = / [mm] \bruch{(2n+3!)}{(2n+1)!} [/mm] /= (2n+3)(2n+2) und das wäre dann meiner meinung nach R=unendl.
oder??
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> also die formel von euler ist genau die, die ihr genannt
> habt.
>
> allerdings versteh ich nicht warum a(n+1)= 0 ist
> ich habe doch wenn ich die reihe als summe schreibe
> folgende form:
Hallo
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] * [mm] x^{2n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{1} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{3!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{3}+\bruch{1}{5!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{5}+...
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{1} +0*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{-1}{3!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{3}+0*x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5!}[/mm] [/mm] * [mm] x^{5}+...
[/mm]
> dann erhalte ich für / [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm] / = /
> [mm]\bruch{(2n+3!)}{(2n+1)!}[/mm] /
Eben nicht. Du berechnest gerade [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+2}}|
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
sorry ich versteh das noch nicht,
hab es nochmal nachgerechnet und komm wieder darauf
|
|
|
| |
|
> sorry ich versteh das noch nicht,
> hab es nochmal nachgerechnet und komm wieder darauf
Hallo,
da wirst Du wohl haargenauso gerechnet haben wie zuvor...
Es ist doch
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}[* x^{2n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1!}* x^{1} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{3!} [/mm] * [mm] x^{3}+\bruch{1}{5!}* x^{5}+...
[/mm]
[mm] =\underbrace{\bruch{1}{1!}}_{=a_1}* x^{1} +\underbrace{0}_{=a_2}*x^2 +\underbrace{ \bruch{-1}{3!}}_{a_3}* x^{3}+\underbrace{0}_{a_4}*x^4 [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{1}{5!} }_{a_5}* x^{5}+...
[/mm]
Es ist also jedes zweite der [mm] a_n [/mm] =0, und das gibt beim Dividieren Probleme - welche man hier aber umschiffen kann, indem man folgendes tut:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}* x^{2n+1}=x*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}* (x^2)^n=x*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}* y^n [/mm] mit [mm] y=x^2
[/mm]
Nun den Konvergenzradius
[mm] |\bruch{ \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}}{ \bruch{(-1)^n+1}{(2n+3)!}}|= \bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!} [/mm] --> [mm] \infty, [/mm] also konvergiert die Reihe für alle y, und wegen [mm] y=x^2 [/mm] auch für alle x.
Ein echtes Problem hast Du aber, wenn es den grenzwert des Quotienten nicht gibt, wie im Wikipedia-Link.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
