Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} log(n+1)x^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n [/mm] |
Hallo zusammen
ich stehe wieder mal vor kleinen Problemchen 
Zu a)
Hier würde ich das Quotientenkriterium anwenden mit
q = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}
[/mm]
Der Radius R wäre dann: R = [mm] \bruch{1}{q}
[/mm]
also mein Ansatz:
q = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}}
[/mm]
Nun hier ist mein Problem, dass ich der Limes von log (n+1), sprich überhaupt von Logarithmen nicht kenne.
Auch mein Buch sagt nichts dazu und im Internet bin ich nicht fündig geworden.
Irgendjemand einen Tipp?
zu b)
Hier würde ich das Wurzelkriterium anwenden, mit
L = lim sup [mm] \wurzel[n]{\vmat{ a_{n} }}, [/mm]
wobei R = [mm] \bruch{1}{L} [/mm] ist.
Mein Ansatz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\bruch{x^2}{(3+(-1)^n)^3}}^n
[/mm]
Wenn ich jetzt aber das Wurzelkriterium anwende, dann hat mein Radius ein x in der Lösung. Darf das sein?
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
Ps.: habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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> Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
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> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} log(n+1)x^n[/mm]
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> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> ich stehe wieder mal vor kleinen Problemchen
>
> Zu a)
>
> Hier würde ich das Quotientenkriterium anwenden mit
>
> q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm]
>
> Der Radius R wäre dann: R = [mm]\bruch{1}{q}[/mm]
>
> also mein Ansatz:
>
> q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}}[/mm]
Hallo,
wenn Ihr die Regel v. L' Hospital verwenden dürft, kannst Du die verwenden.
>
> Nun hier ist mein Problem, dass ich der Limes von log
> (n+1), sprich überhaupt von Logarithmen nicht kenne.
> Auch mein Buch sagt nichts dazu und im Internet bin ich
> nicht fündig geworden.
> Irgendjemand einen Tipp?
>
>
> zu b)
>
> Hier würde ich das Wurzelkriterium anwenden, mit
>
> L = lim sup [mm]\wurzel[n]{\vmat{ a_{n} }},[/mm]
>
> wobei R = [mm]\bruch{1}{L}[/mm] ist.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\bruch{x^2}{(3+(-1)^n)^3}}^n[/mm]
>
> Wenn ich jetzt aber das Wurzelkriterium anwende, dann hat
> mein Radius ein x in der Lösung. Darf das sein?
> Hat jemand eine Idee?
Mach dies: Setze [mm] x^2=y [/mm] und berechne den Kovergenzradius r von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] .
Aus |y|<r kannst Du dann ja ausrechnen, was für x gelten muß.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
> >
> > a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} log(n+1)x^n[/mm]
> >
> > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen
> >
> > ich stehe wieder mal vor kleinen Problemchen
> >
> > Zu a)
> >
> > Hier würde ich das Quotientenkriterium anwenden mit
> >
> > q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm]
>
> >
> > Der Radius R wäre dann: R = [mm]\bruch{1}{q}[/mm]
> >
> > also mein Ansatz:
> >
> > q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wenn Ihr die Regel v. L' Hospital verwenden dürft, kannst
> Du die verwenden.
leider kennen wir die Regel von L'Hospital noch nicht....kann man das auch noch anderst machen? Ansonst mache ich mich im Netz schlau, was diese Regel besagt
>
> >
> > Nun hier ist mein Problem, dass ich der Limes von log
> > (n+1), sprich überhaupt von Logarithmen nicht kenne.
> > Auch mein Buch sagt nichts dazu und im Internet bin ich
> > nicht fündig geworden.
> > Irgendjemand einen Tipp?
>
> >
> >
> > zu b)
> >
> > Hier würde ich das Wurzelkriterium anwenden, mit
> >
> > L = lim sup [mm]\wurzel[n]{\vmat{ a_{n} }},[/mm]
> >
> > wobei R = [mm]\bruch{1}{L}[/mm] ist.
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\bruch{x^2}{(3+(-1)^n)^3}}^n[/mm]
>
> >
> > Wenn ich jetzt aber das Wurzelkriterium anwende, dann hat
> > mein Radius ein x in der Lösung. Darf das sein?
> > Hat jemand eine Idee?
>
>
> Mach dies: Setze [mm]x^2=y[/mm] und berechne den Kovergenzradius r
> von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] .
>
> Aus |y|<r kannst Du dann ja ausrechnen, was für x gelten
> muß.
guter Trick, wobei ich jetzt trotzdem Mühe hab den Konvergenzradius r von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] zu bestimmen. Habe es mit dem Wurzelkriterium und Quotientenkriterium versucht :-(
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
> > >
> > > a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} log(n+1)x^n[/mm]
> > >
> > > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}x^2^n[/mm]
en.
>
> leider kennen wir die Regel von L'Hospital noch
> nicht....kann man das auch noch anderst machen? Ansonst
> mache ich mich im Netz schlau, was diese Regel besagt
Hallo,
ich vermutete sowieso schon, daß Ihr L'Hospital nicht nehmen dürft, denn dazu braucht man Ableitungen, und wenn bei Euch nicht verkehrte Welt herrrscht, dann "könnt" Ihr noch gar nicht ableiten.
Der Grenzwert, der Dir fehlt, ist =1.
Ich vermute, daß Du das separat vorrechnen mußt, indem Du
q = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1} [/mm] $ berechnest, was unter Einbeziehung der  Logarithmusgesetze und bei Kenntnis des Verlaufs der Log-Funktion wirklich einfach ist.
> > Mach dies: Setze [mm]x^2=y[/mm] und berechne den Kovergenzradius r
> > von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] .
> >
> > Aus |y|<r kannst Du dann ja ausrechnen, was für x gelten
> > muß.
> guter Trick, wobei ich jetzt trotzdem Mühe hab den
> Konvergenzradius r von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm]
> zu bestimmen. Habe es mit dem Wurzelkriterium und
> Quotientenkriterium versucht :-(
>
Du willst Doch jetzt erstmal
[mm] \limsup\wurzel[n]{\underbrace{|\bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n|}}_{=a_n}}
[/mm]
ausrechnen, dachte ich.
Es ist [mm] \limsup\wurzel[n]{|\bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n|}}=\limsup|\bruch{1}{(3+(-1)^n)^3|}= [/mm] ???
Schau Dir die Folge für gerades und für ungerades n an. Der größere der beiden Grenzwerte ist der limsup.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 25.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> en.
> >
> > leider kennen wir die Regel von L'Hospital noch
> > nicht....kann man das auch noch anderst machen? Ansonst
> > mache ich mich im Netz schlau, was diese Regel besagt
>
> Hallo,
>
> ich vermutete sowieso schon, daß Ihr L'Hospital nicht
> nehmen dürft, denn dazu braucht man Ableitungen, und wenn
> bei Euch nicht verkehrte Welt herrrscht, dann "könnt" Ihr
> noch gar nicht ableiten.
>
> Der Grenzwert, der Dir fehlt, ist =1.
>
> Ich vermute, daß Du das separat vorrechnen mußt, indem Du
>
> q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1}[/mm]
erstmals danke für deine antwort von vorher ist super!
jetzt zum logarithums: wieso hast du noch -1 geschrieben? macht für mich keinen sinn...
meinst du der gesucht grenzwert von log (n) oder von
q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1}[/mm]
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> > Ich vermute, daß Du das separat vorrechnen mußt, indem Du
> >
> > q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1}[/mm]
>
> erstmals danke für deine antwort von vorher ist super!
>
> jetzt zum logarithums: wieso hast du noch -1 geschrieben?
> macht für mich keinen sinn...
> meinst du der gesucht grenzwert von log (n) oder von
> q = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1}[/mm]
>
Hallo,
da habe ich etwas unvorsichtig und somit falsch kopiert.
Ich wollte sagen: Du sollst [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{log (n+2}{log (n+1)}- 1}[/mm] ausrechnen und =0 herausbekommen, was ja bedeutet, daß die Folge gegen 1 konvergiert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 25.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
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> Mach dies: Setze [mm]x^2=y[/mm] und berechne den Kovergenzradius r
> von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] .
>
> Aus |y|<r kannst Du dann ja ausrechnen, was für x gelten
> muß.
darf ich noch fragen: wie muss ich das jetzt rücksubstituieren?
Ich habe für L = 1/64 bekommen
ich würde nun sagen, dass L = 1/8 ist für [mm] x^2
[/mm]
ist das korrekt?
>
> Gruß v. Angela
>
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> > Mach dies: Setze [mm]x^2=y[/mm] und berechne den Kovergenzradius
> r
> > von [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^3^n}y^n[/mm] .
> >
> > Aus |y|<r kannst Du dann ja ausrechnen, was für x gelten
> > muß.
>
> darf ich noch fragen: wie muss ich das jetzt
> rücksubstituieren?
>
> Ich habe für L = 1/64 bekommen
Hallo,
dieses L ist der limsup.
Den Konvergenzradius bekommst Du mit [mm] r=\bruch{1}{L}, [/mm] ich glaube, das hattest Du vorhin auch dastehen.
Also konvergiert die Reihe für [mm] |x^2|=|y|<64,
[/mm]
woraus Du |x|<8 erhältst, also den Konvergenzradius 8.
Bis auf daß Du den Kehrwert vergessen hast, hast Du#s richtig durchschaut.
Gruß v. Angela
> ich würde nun sagen, dass L = 1/8 ist für [mm]x^2[/mm]
>
> ist das korrekt?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 25.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
...für alles
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