Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 01.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Habe folgende Potenzreihe gegeben [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(2k-1)^{2k-1}}{2^{2k}(2k)!}z^k [/mm] und soll den Konvergenzradius berechnen. Habe das erst einmal über den Quotienten L= [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] versucht und habe da folgendes erhalten [mm] (\bruch{2k-1}{2k+1})^k\bruch{8k+8}{2k-1}. [/mm] Weiß nicht wie ich das sinnvoll vereinfachen kann um anschließend den Grenzwert zu berechnen und R=1/L zu bestimmen. Oder geht das besser über die K-te Wurzel!
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte
Mit feundlichen Grüßen
Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jenny
Wenn man mal [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ [/mm] bildet, kommt man irgendwie auf
[mm] $\frac{(2k+1)^{2k+1}}{2^{2k+2}(2k+2)!}\cdot{}\frac{2^{2k}(2k)!}{(2k-1)^{2k-1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(2k+1)^{2k-1}(2k+1)^22^{2k}(2k)!}{(2k-1)^{2k-1}(2k)!(2k+1)(2k+2)2^{2k}2^2}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{2k+1}{2k-1}\right)^{2k-1}\cdot{}\frac{(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)}\cdot{}\frac{2^{2k}}{2^{2k}}\cdot{}\frac{(2k)!}{(2k)!}\cdot{}\frac{1}{2^2}$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow \frac{1}{4}$ [/mm] für [mm] $k\rightarrow\infty$
[/mm]
Damit ist der Kgzradius [mm] $\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Di 01.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich muss leider korrigieren, denn der erste Faktor in seinem Produkt
[mm] (\bruch{2k+1}{2k-1})^{2k-1}
[/mm]
strebt wegen
= [mm] (1+\bruch{2}{2k-1})^{2k-1} [/mm] gegen [mm] e^{2} [/mm] !!!!!!!
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Hallo Werner,
danke für den Hinweis - das war mir durchgegangen 
Mit der Korrektur müsste dann also [mm] $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{e^2}{4}$ [/mm] sein und damit der Kgzradius der Potenzreihe [mm] $\frac{4}{e^2}$
[/mm]
Nochmal Dank an Werner für seine Aufmerksamkeit
LG
schachuzipus
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