Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Ich muss den Konvergenzradius von [mm] \sum^\infty_{n=0} (n+2^n)x^n [/mm] bestimmen
Ich habe es erst einmal mit dem Quotientenkriterium versucht
[mm] $\frac{n+1+2^{n+1}}{n+2^n} [/mm] = [mm] \frac{n+1+2+2^n}{n+1+2^n}$ [/mm] Hier kann ich jetzt aber nichts kürzen [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1+2+2^n}{n+1+2^n} [/mm] = 1
Der Konvergenzradius ist also [mm] x\in(-1,1)?
[/mm]
Gruß, Wehm
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Hallo Wehm,
kleine Anmerkung vorab: [mm] 2^{n+1}=2\cdot{}2^n [/mm] und nicht [mm] 2+2^n [/mm] 
Schätze, du hast dich vertippelt.
M.E. hilft das QK weiter, wenn du den entstehenden Bruch ein bissl umformst.
also [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{n+1+2\cdot{}2^n}{n+2^n}=\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+\bruch{2\cdot{}2^n}{n+2^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+2\cdot{}\bruch{2^n}{2^n(\bruch{n}{2^n}+1)}=\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+2\cdot{}\bruch{1}{\bruch{n}{2^n}+1}\longrightarrow 0+0+2\cdot{}1=2 [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Damit wäre der Kgzradius [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und die Reihe kovergiert (absolut) für [mm] |x|<\bruch{1}{2} [/mm]
Für [mm] x=\pm\bruch{1}{2} [/mm] musste das noch manuell überprüfen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Wehm |
> Hallo Wehm,
Hi.
> kleine Anmerkung vorab: [mm]2^{n+1}=2\cdot{}2^n[/mm] und nicht [mm]2+2^n[/mm]
>
>
> Schätze, du hast dich vertippelt.
>
> M.E. hilft das QK weiter, wenn du den entstehenden Bruch
> ein bissl umformst.
Immerhin habe ich mich für das richtige Verfahren entschieden :)
> also
> [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{n+1+2\cdot{}2^n}{n+2^n}=\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+\bruch{2\cdot{}2^n}{n+2^n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+2\cdot{}\bruch{2^n}{2^n(\bruch{n}{2^n}+1)}=\bruch{n}{n+2^n}+\bruch{1}{n+2^n}+2\cdot{}\bruch{1}{\bruch{n}{2^n}+1}\longrightarrow 0+0+2\cdot{}1=2[/mm]
> für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
>
> Damit wäre der Kgzradius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und die Reihe
> kovergiert (absolut) für [mm]|x|<\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Für [mm]x=\pm\bruch{1}{2}[/mm] musste das noch manuell überprüfen
Das kenne ich eigentlich nur aus der Theorie. Wie mache ich das denn?
$ [mm] \sum^\infty_{n=0} (n+2^n)(1/2)^n [/mm] $
Muss ich jetzt die Summe ausrechnen? Oder wende ich hier das Integralkriterium an? Üh, das wäre wohl totaler blödsinn?
Kannst du dazu vielleicht noch ein paar Worte sagen, rechnen kann ich ja alleine. Aber eine Beschreibung wäre schon gut.
Gruß, wehm
> Gruß
>
> schachuzipus
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puh, nicht ohne
ich habe aber erstmal ne Idee zu dem Fall [mm] x=\bruch{1}{2}, [/mm] also für
[mm] \summe_{n}(n+2^n)\left(\bruch{1}{2}\right)^n
[/mm]
Klammere mal bei [mm] n+2^n [/mm] die [mm] 2^n [/mm] aus und fasse alles zusammen.
Überlege dann, ob das notwendige Kriterium für die Kgz einer Reihe erfüllt ist.
Für [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] hab ich's noch nicht genau überprüft
Falls ich dazu noch ne Idee habe, meld ich mich nochmal
cu
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
> puh, nicht ohne
Ja eben ;)
> ich habe aber erstmal ne Idee zu dem Fall [mm]x=\bruch{1}{2},[/mm]
> also für
>
> [mm]\summe_{n}(n+2^n)\left(\bruch{1}{2}\right)^n[/mm]
>
> Klammere mal bei [mm]n+2^n[/mm] die [mm]2^n[/mm] aus und fasse alles
> zusammen.
[mm] $\sum_n 2^n(1+\frac{n}{2^n})(\frac{1}{2})^n$
[/mm]
> Überlege dann, ob das notwendige Kriterium für die Kgz
> einer Reihe erfüllt ist.
Welches Kriterium meinst du?
Mein Verdacht ist ja das ich einmal die geom reihe auf [mm] (\frac{1}{2})^n [/mm] anwende und hier das Quotientenkriterium [mm] 1+\frac{n}{2^n}, [/mm] wenn kleiner eins, dann Konvergenz?
Gruß, Wehm
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>
>
> [mm]\sum_n 2^n(1+\frac{n}{2^n})(\frac{1}{2})^n[/mm]
Hallo,
bevor Du irgendwas überlegst, solltest Du kürzen.
>
>
> > Überlege dann, ob das notwendige Kriterium für die Kgz
> > einer Reihe erfüllt ist.
>
> Welches Kriterium meinst du?
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] kann überhaupt nur konvergieren, wenn [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Wehm |
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] kann überhaupt nur konvergieren,
> wenn [mm](a_n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Nullfolge ist.
$ \sum_n (1+\frac{n}{2^n})$
Reicht hier jetzt der $\lim_{n}rightarrow \infty} a_n$ ? Das zeigt ja die Nullfolge. Aber das kann nicht ausreichend sein wegen der harmonischen Reihe, das ist ja auch eine Nullfolge. Wie zeige ich denn das es streng monoton fallend ist?
Gruß, Wehm
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> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] kann überhaupt nur konvergieren,
> > wenn [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist.
>
> [mm]\sum_n (1+\frac{n}{2^n})[/mm]
>
> Reicht hier jetzt der [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} a_n[/mm] ?
Reicht wofür?
Was ist denn [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{n}{2^n})?
[/mm]
Und was sagt uns das?
> Das
> zeigt ja die Nullfolge.
Ja?
> Aber das kann nicht ausreichend
> sein wegen der harmonischen Reihe, das ist ja auch eine
> Nullfolge.
Richtig. "Nullfolge" ist lediglich ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe.
Die Frage, ob wir im vorliegenden Fall eine Nullfolge haben, steht noch im Raum.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
falls das noch nicht erwähnt wurde?
Für [mm] x=-\bruch{1}{2}, [/mm] also für die Reihe [mm] \summe_{n}(n+2^n)\left(-\bruch{1}{2}\right)^n [/mm] kannst du das genauso umformen [mm] (2^n [/mm] ausklammern) und zusammenfassen wie unten für [mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Du bekommst ebenfalls eine nicht gegen Null kovergierende Folge heraus, sondern eine die für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] immer zwischen +1 und -1 hin-und herhüpft, also auf keinen Fall gegen Null geht.
Somit ist die Reihe für [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] ebenfalls nicht konvergent.
ALso zusammenfassend konvergiert [mm] \summe_{n}(n+2^n)x^n [/mm] genau für [mm] |x|<\bruch{1}{2} [/mm] ( und am Rand der Kgzradius NICHT)
Gruß
schachuzipus
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> Hoi.
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> Ich muss den Konvergenzradius von [mm]\sum^\infty_{n=0} (n+2^n)x^n[/mm]
> bestimmen
>
> Ich habe es erst einmal mit dem Quotientenkriterium
> versucht
>
> [mm]\frac{n+1+2^{n+1}}{n+2^n} = \frac{n+1+2+2^n}{n+1+2^n}[/mm]
Du musst [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}bilden, [/mm] nicht umgekehrt.
Außerdem steht dort dann * und nicht +:
[mm] \frac{n+2^n}{n+1+2*2^n}= \frac{\frac{n+1}{2}+2^n}{n+1+2*2^n}+\frac{\frac{n-1}{2}}{n+1+2*2^n}[/mm]
[/mm]
Der erste Bruch gibt genau 1/2. Da für den 2. Bruch lim [mm] n-->\infty [/mm] Null gibt (beweise das), ist der Konvergenzradius 1/2.
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s.o.
ist [mm] r:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|, [/mm] so ist der Konvergenzradius genau [mm] \bruch{1}{r}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hmhmhm,
also lt. Königsberger ist der Kgzradius einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] definiert als
[mm] R=\bruch{1}{q}, [/mm] wobei [mm] q:=\limes\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] , falls dieser GW existiert.
Hier setzt man [mm] \bruch{1}{0}:=\infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{\infty}:=0
[/mm]
Das Kriterium heißt aber nicht QK - wie ich vorschnell aufgeschrieben habe - sondern Kriterium von Euler. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Es macht also keinen Unterschied. (Außer es gibt vllt Fälle, wo der GW [mm] \limes\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] existiert, aber der GW [mm] \limes\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] nicht?)
Gruß
schachuzipus
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