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| Aufgabe | 1) [mm] \summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{3^{n}}{n+1}* x^{n}
[/mm]
2) [mm] \summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{3*n!}{n!^3}* x^{n} [/mm] |
Folgende Frage zu den 2 Aufgabenstellungen:
zu 1) wird mit R= [mm] \bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{ a_{n}}}
[/mm]
berechnet
zu 2) wird mit R= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ a_{n}}{ a_{n+1}} [/mm] berechnet
woher kriege ich raus, welches Verfahren ich anwenden muß?
Auf einer Webseite steht:
Sind die Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] einer Potenzreihe [mm] $\sum_n a_n x^n$ [/mm] für fast alle $n$ von Null verschieden, dann läßt sich der Konvergenzradius nach 2 berechnen.
Auch bei 1) sind doch meiner Meinung nach alle Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] für alle n von Null verschieden, oder? Wenn ich für n 0,1,2,3 einsetze , kommen von Null verschiedene [mm] a_{n} [/mm] raus. Scheinbar täusche ich mich da.
Wäre gut, wenn mir jemand schreiben könnte, wo ich falsch denke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Stepi!
Zunächst einmal ein etwas "unbefriedigende" Antwort: das ist auch eine Sache der Erfahrung / Übung, um zu wissen, welches Verfahren günstiger ist. Teilweise kommt man auch auf beiden Wegen zum Ziel.
Aber es gibt auch gewisse "Hinweise", denen man folgen kann.
Bei der 1. Aufgabe drängt sich durch die Potenz [mm] $3^{\red{n}}$ [/mm] der Weg (1) mit der [mm] $\wurzel[\red{n}]{...}$ [/mm] auf. Durch die Wurzel wird diese Potenz nämlich eliminiert.
Bei den auftretenden Fakultäten wie in der 2. Aufgabe ist es oft ratsam, den Weg (2) mit dem Quotientenausdruck zu wählen. Denn hier kürzt sich dann eine ganze Menge durch Anwendung der Definition für die Fakultät heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Stepi!
> 2) [mm]\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{3*n!}{n!^3}* x^{n}[/mm]
Aber ist doch sicherlich [mm] $\summe_{i=0}^{ \infty}\bruch{\red{(}3n\red{)}!}{(n!)^3}* x^{n}$ [/mm] gemeint, oder?
Ansonsten kürzt sich der Ausdruck $n!_$ heraus, und es verbleibt lediglich [mm] $\bruch{3}{(n!)^2}$ [/mm] ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mo 14.08.2006 | | Autor: | stepi1974 |
Richtig, war ein Tippfehler!
Wenn ich das nun richtig verstanden habe, kann man für beide Aufgaben alle 2 Verfahren anwenden, auch wenn aufgrund der Struktur der Aufgabenstellung ein best. Verfahren empfohlen wird?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Stepi!
> Wenn ich das nun richtig verstanden habe, kann man für
> beide Aufgaben alle 2 Verfahren anwenden, ...
Jein! Bei der ersten Aufgabe führen beide Wege ähnlich schnell zum Ziel.
Bei der 2. Aufgabe lande ich allerdings mit Weg (1) schnell in einer Sackgasse (oder ich sehe schlicht und ergreifend den Lösungsweg nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ). Hier ist die Anwendung von Weg (2) mit dem Quotientenausdruck eindeutig zu empfehlen.
Leider führen halt nicht beide Wege gleichermaßen einfach bzw. schnell zum Ziel.
Gruß vom
Roadrunner
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