Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Do 13.07.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | Eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] wird rekursiv definiert durch
a) [mm] a_{0}:=1, a_{n+1}:=2a_{n}+n-1 [/mm] für [mm] n\ge0
[/mm]
b) [mm] a_{0}:=1, a_{n+1}:=\bruch{4n+2}{n+1}*a_{n} [/mm] für nge0
Welchen Konvergenzradius hat dann die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}? [/mm] |
Leider bin ich planlos. das ist nicht die feine art, ich bitte euch auch nur um hilfe, weil ich unbedingt noch Punkte zur Klausurzulassung brauche und bei dieser aufgabe fehlt mir alles.
muss das blatt morgen früh abgeben, hoffe bisdahin wenigestens 2-3 punkte für die aufgabe zusammengesammelt zu haben.
ich hatte leider die woche soviele Prüfungen,d ass ich net dazu kam. erwarte nicht, dass alles gelöst wird, konnte aber nicht abschätzen, was leichter ist.
1000 Dankeschöns an Euch
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Hallo soni,
es gibt die Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius r:
[mm] r=\frac{1}{\lim\sup_n \sqrt{|a_n|}}_n
[/mm]
und die Formel
[mm] r=\lim\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}
[/mm]
falls dieser Grenzwert ex. und ab einem gewissen n alle Folgenglieder [mm] \neq [/mm] 0 sind.
Teste erst die zweite Formel: alle [mm] a_n [/mm] sind [mm] \neq [/mm] 0, richtig. Also
[mm] \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\left|\frac{a_n}{2a_n+n-1}\right|=
[/mm]
[mm] =\left|\frac{1}{2+\frac{n-1}{a_n}}\right|
[/mm]
Jetzt musst Du nur argumentieren, dass [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n-1}=\infty [/mm]
und kannst dann den Grenzwert zu [mm] \frac{1}{2} [/mm] bestimmen.
Die Arbeit kannst Du Dir leichter machen, wenn Du nur [mm] a_n\geq 2^n [/mm] zeigst, schon dann
konvergiert [mm] \frac{n+1}{a_n} [/mm] gegen 0.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sonisun |
erstmal vielen lieben dank.
doch hab ich denn dann nicht das [mm] z^{n} [/mm] vernachlässigt? ich soll ja den Konvergenzradius zur Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm] ermitteln!
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Hallo sonison!
> doch hab ich denn dann nicht das [mm]z^{n}[/mm] vernachlässigt?
Nein, bei der Betrachtung der Konvergenz bzw. Ermittlung des Konvergenzradius' einer Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n}[/mm] wird lediglich die Koeffizentenfolge [mm] $a_n$ [/mm] betrachtet.
Gruß vom
Roadrunner
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