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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 03.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((3n!)x^{n})/(n!)^{2} [/mm] |
Mein Ansatz mit Hilfe der Quotientenkrieteriums für Konvergezradien:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|ak/ak+1|
[/mm]
[mm] 3n!*((n+1)!)^{2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}---------
[/mm]
[mm] (n!)^{2}*(3(n+1)!)
[/mm]
[mm] 3n!*(n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}---------
[/mm]
(3n+3)!
[mm] 3n!*(n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ----------------------
3n!(3n+1)(3n+2)(3n+3)
(n+1)*(n+1)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}---------------
[/mm]
(3n+1)*(3n+2)*3*(n+1)
(n+1)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}---------------
[/mm]
(3n+1)*(3n+2)*3
Ok, soweit komme ich. Laut richtiger Lösung soll als Grenzwert "0" rauskommen!
Wenn ich jetz weiter umforme, erhalte ich:
(n+1)
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}------------
[/mm]
(3n+1)(9n+6)
und weiter (durch höchste Nennerpotenz dividiert):
(1+1/n)
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}-------------
[/mm]
(3+1/n)*(9+6/n)
1 + N.F.
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}------------
[/mm]
(3+N.F.)*(9+N.F.)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/27
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? Ich hoffe die Umformungen
(3n!+3) = 3n!(3n+1)*(3n+2)*(3n+3) (Leider steht auf meinem Lösungsblatt hierzu (3n!+3) = 3n!(3n+1)*(3n+2)*(3n+1), was ich leider so nicht nachvollziehen kann, wenn ich da für n ganze Zahlen einsetze!)
Wo liegt mein Fehler? Als Grenzwert soll laut Lösung "0" rauskommen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo RalU!
> Wenn ich jetz weiter umforme, erhalte ich:
>
> (n+1)
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}------------[/mm]
> (3n+1)(9n+6)
Bis hierher machst Du alles richtig (bei der einen Zahl in der Musterlösung scheint es sich wirklich um einen Tippfehler zu handeln ...)
> und weiter (durch höchste Nennerpotenz dividiert):
>
> (1+1/n)
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}-------------[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (3+1/n)*(9+6/n)
Aber hier musst Du bedenken, dass du ja durch $n^{\red{2}}$ kürzt; schließlich hast Du im Nenner auch $\red{2}}$ Klammern:
$... \ = \ \bruch{n+1}{(3n+1)*(9n+6)} \ = \ \bruch{n^2*\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)}{\red{n}*\left(3+\bruch{1}{n}\right)*\red{n}*\left(9+\bruch{6}{n}\right)} \ = \ \bruch{n^2*\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)}{\red{n^2}*\left(3+\bruch{1}{n}\right)*\left(9+\bruch{6}{n}\right)} \ = \ \bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}{\left(3+\bruch{1}{n}\right)*\left(9+\bruch{6}{n}\right)} \ = \ ...$
Nun klar und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 03.07.2006 | | Autor: | RalU |
Ok, ich setz mal nochmal hier an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n+1) [/mm]
[mm] \overline{(3n+1)*(9n+6)} [/mm] =
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)
[/mm]
[mm] \overline{27n^{2}+27n+6} [/mm] =
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}1/n+1/n^{2}
[/mm]
[mm] \overline{27+27/n+6/n^{2}}=0
[/mm]
Dann ist es wohl so richtig. Das Aha-Erlebnis kam aber erst, nachdem ich unten die Klammern ausmultipliziert habe! Aber danke für deinen Tipp!!!
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