Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Knoepfchen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen und untersuchen Sie
das Konvergenzverhalten der Reihen in den Randpunkten.
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 23 * [mm] n^4 x^n
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{4^nx^{2n}}{3}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{(k^2)}}{3k} [/mm] |
Hallo,
kann mir veilleicht jemand helfen einen Ansatz zu Lösung zu finden? Ich weiß nicht, wie ich heir anfangen muss...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 18.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt doch nur 2 Möglichkeiten Konvergenzradien auszurechnen.
ob Wurzel oder Quotient besser ist musst du lernen, und das am besten indem du beides ausprobierst! später sieht man das dann fast von allein. Aber nicht wenn wirs einfach vormachen.
Also probier in allen Fällen beide, es sei denn du hast schon beim ersten Versuch einen erfolg.
Wenn du die Formeln nicht weisst sieh bei Wikipedia oder in deinem skript nach.
Gruss leduart
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also, ich schreibe mal auf, wie ich bei a) angefangen habe.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 23*n^4x^n
[/mm]
[mm] a_{n}=n^4
[/mm]
[mm] |\bruch{3a_{n+1}}{4a_{n}}|= \bruch{n^4 + 1}{n^4}= \bruch{n+1}{n} =\infty
[/mm]
bin ich da auf dem richtigen Weg???
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
so ungefähr. Das [mm] a_{n}=n^{4} [/mm] ist, kannst du machen, denn die 23 kannst du ausklammern.
Dann ist aber [mm] a_{n+1}=(n+1)^{4}.
[/mm]
Der Quotient der Ausdrücke konvergiert dann gegen 1.
Mit Wurzelkriterium gehts noch schneller:
[mm] \wurzel[n]{n^{4}}=\wurzel[n]{n}^{4} [/mm] und das konvergiert bekanntlich gegen 1.
Der Konvergenzradius ist dann der Kehrwert, also 1. Das Konvergenzverhalten am Rand musst du noch untersuchen.
Übrigens kann man sich merken: Bei Potenzen ist das Wurzelkriterium und bei Fakultäten das Quotientenkriterium gut geeignet.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 18.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Koepfchen
> also, ich schreibe mal auf, wie ich bei a) angefangen habe.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 23*n^4x^n[/mm]
>
> [mm]a_{n}=n^4[/mm] eigentlich [mm] 23n^4 [/mm] spielt aber keine Rolle, da du die 23 auch vor die Summe ziehen kannst:
>
> [mm]|\bruch{3a_{n+1}}{4a_{n}}|= \bruch{n^4 + 1}{n^4}=
\bruch{n+1}{n} =\infty[/mm]
[mm] \bruch{n^4 + 1}{n^4}= \bruch{n+1}{n} [/mm] ist falsch! aus Summen kürzen nur die D....!
aber warum rechnest du [mm] 3*a_{n+1} [/mm] und [mm] 4*a_n
[/mm]
Der Konvergenzradius ist lim n gegen [mm] \infty [/mm] von [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}
[/mm]
also : [mm] \bruch{n^4}{(n+1)^4} [/mm]
davon den GW.
ein weiterer Fehler von dir:
wenn [mm] a_n=n^4 [/mm] dann ist [mm] a_{n+1} [/mm] NICHT [mm] n^4+1 [/mm] das wäre [mm] a_n+1
[/mm]
sondern [mm] a_{n+1}=(n+1)^4 [/mm] du musst wirklich n durch n+1 ersetzen!
ausserdem musst du lim vor deine Ausdrücke setzen sonst ist alles falsch.
Gruss leduart
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Erstmal danke für die Hilfe!!!
> aber warum rechnest du [mm]3*a_{n+1}[/mm] und [mm]4*a_n[/mm]
Das war ein Eingabefehler, ich habe vergessen die 3 und die 4 aus dem Bruch raus zu schreiben...muss noch lernen mit diesem Program umzugehen...
wenn ich das alles jetzt richtig aufschreibe, mir lim davor und ohne 3 und 4, dann weiß ich aber nur, dass die Reihe gegen 1 geht und kenne noch nicht den Konvergenzradius, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
nein, dann weist du umgekehrt den Konvergenzradius (Kehrwert von 1), aber die Summe kennst du natürlich nicht, nach der ist aber auch nicht gefragt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Knoepfchen |
Danke!! Das hat mir sehr geholfen!!!
Ich denke nach dem Schema laufen ja auch b) und c) oder?
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