Konvergenzrad. (Binomialkoef.) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{m+k \\ k}x^{k}$. [/mm] |
Hallo.
Ich verstehe nicht, wie die Fakultät im Zähler $(m+k+1)!$ und im Nenner $(m+k)!$ beseitigt wird, denn es ist ja aufgrund von [mm] $(m+k+1)!\not=m!+k!+1!$ [/mm] nicht möglich, umzuformen und dann zu kürzen.
Es wäre echt super, wenn mir jemand den Schritt ab dem 3. Gleichheitszeichen erklären könnte.
Vielen Dank.
Musterlösung:
Hier ist [mm] $a_{k}=\vektor{m+k \\ k}=\bruch{(m+k)!}{k!*(m+k-k)!}=\bruch{(m+k)!}{k!*m!}$.
[/mm]
Dann liefert das Quotientenkriterium:
[mm] $\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{(m+(k+1))!}{(k+1)!*m!}*\bruch{k!*m!}{(m+k)!}=\bruch{(m+k+1)!}{(m+k)!}*\bruch{k!}{(k+1)!}=\bruch{m+(k+1)}{k+1}=\bruch{m}{k+1}+1\xrightarrow[k\to\infty]{}1 \Rightarrow R=\bruch{1}{1}=1$
[/mm]
(denn [mm] $m\in\IN_{0}$ [/mm] ist konstant).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich steht da doch schon alles.
du musst nur (m+k+1)!=(m+k)!*(m+k+1) und (k+1)!=k!*(k+1)
einsetzen und dann kürzen. Bei solchen Formeln versucht man immer diese Art er Umformung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 27.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, leduart! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Genau das hier hat mir gefehlt:
> du musst nur (m+k+1)!=(m+k)!*(m+k+1)
Gruß
el_grecco
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