Konvergenzordnung, Newton < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:42 Do 25.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f, eine (p+1)-mal stetig differenzierbare Funktion mit einen Fixpunkt [mm] x^{\*}. [/mm] Sei p>=2 und
[mm] 0=f'(x^{\*})=....=f^{(p-1)}(x^{\*}), [/mm] sowie [mm] f^{(p)} (x^{\*}) \not=.
[/mm]
Dann ist die Fixpunkt-Iteration lokal superlinear konvergent mit Konvergenzordnung p. |
Hallo,
Der Satz und der Beweis ist klar. Als Bemerkung steht, dass wenn [mm] f^{(p)} (x^{\*})=0 [/mm] gilt, das Verfahren mindestens von Ordung p ist.
Nun hat man aber z.B beim Newtonverfahren [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})} [/mm] und f [mm] \in C^3[a,b] [/mm] mit [mm] x^{\*} \in [/mm] (a,b) mit [mm] f(x^{\*})=0, f'(x^{\*}) \not=0, [/mm] dass für [mm] \phi(x):= x^{(k)} [/mm] - [mm] \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})} [/mm] gilt [mm] \phi'(x^{\*}) [/mm] =0. Warum folgt dann aus den obigen Satz die Konvergenzordnung 2?
Müsste man sich da nicht noch die zweite Ableitung von [mm] \phi [/mm] ansehen?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 27.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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