Konvergenzkriterien von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zur Konvergenz von Reihen. Da hab ich in meinen Unterlagen 3 Kriterien fuer die Konvergenz: Majoranten-/Minorantenkriterium, Wurzelkriterium und Quotientenkriterium.
Erste Frage: Gibt es sonst noch irgendwelche Kriterien?
Die zweite Frage hat mit der Anwendung dieser Kriterien zu tun. Das Wurzelkriterium sagt in der allgemeinen Form, dass eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergent ist, wenn gilt:
(1) [mm] |a_n| [/mm] = [mm] \le C*q^n [/mm] fuer fast alle n [mm] \in [/mm] N mit C, q [mm] \in [/mm] R und 0 [mm] \le [/mm] q < 1
Wie kommt man eigentlich auf dieses Kriterium?
Weiter heisst es, diese Bedingung sei z. B. dann erfuellt, wenn gilt:
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1
Was meinen die mit "z. B. dann erfuellt"? Wann denn noch und wie leitet man (2) aus (1) ab? Kennt sich da einer aus?
Ich hab einfach mal versucht, dieses Kriterium auf eine Reihe anzuwenden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n + 2}{2^n} [/mm] (= [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n + 2}{2^n}|)
[/mm]
Wenn also gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{n + 2}{2^n}} [/mm] < 1,
dann ist die Reihe konvergent.
Aber wie verhaelt sich die [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] bei groesser werdendem n? Kennt sich da einer aus? Oder ist das Wurzelkriterium vielleicht gar nicht angebracht hier?
LG
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
deine Wurzel konvergiert gegen 1.
Zu den Konvergenzkriterien: Ja es gibt noch viele andere (Cauchy-Kriterium,Leibnizkriterium, Integralkriterium, Verdichtungskriterium, Kriterium von Raab,...), alle findest du in einem guten Analysis 1 Buch oder Skript, z.B. Winfried Kaballo, Einführung in die Analysis oder auch Otto Forster, Analysis. Dort sind dann auch die Beweise der einzelnen Kriterien aufgestellt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Und wie kann ich zeigen dass das gegen 1 konvergiert? Das muss man doch irgendwie nachweisen bei der Loesung...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 11.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ja, ich hab mittlerweile auch noch ein bisschen rumgegruebelt und bin irgendwie (mit dem Wurzelkriterium!) auch auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gekommen. Unter der Praemisse, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] = 1 steht am Ende naemlich da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{1 + \bruch{2}{n}}}{\bruch{2}{\wurzel[n]{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{2}{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Kann mir einer mit Sicherheit sagen, ob das korrekt ist?
PS: Allerdings kann es sein, dass die vorige Antwort (= 1) sich auf eine Frage bezogen hatte, die in dem Post stand, bevor ich ihn nochmal editiert hatte. Da hatte ich gefragt wo der Grenzwert von [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] liegt. Denn der scheint (nach meinen Versuchen mit dem Taschenrechner) bei 1 zu liegen. Allerdings weiss ich nicht, ob ich das in meiner Loesung auch zeigen muss, oder ob ich das als Tatsache voraussetzen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 11.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
zum Wurzelkriterium ist mir auch noch was eingefallen. Geht hier sogar ganz gut:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{n + 2}{2^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n+2}}{\wurzel[n]{2^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n+2}}{2} \to \bruch{1}{2} [/mm] , weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+2} \to1
[/mm]
____________________________
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}[/mm] =[mm]\bruch{\wurzel[n]{1+\bruch{2}{n}}}{\bruch{2}{\wurzel[n]{n}}}[/mm]= [mm]\bruch{1}{\bruch{2}{1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Kann mir einer mit Sicherheit sagen, ob das korrekt ist?
>
> PS: Allerdings kann es sein, dass die vorige Antwort (= 1)
> sich auf eine Frage bezogen hatte, die in dem Post stand,
> bevor ich ihn nochmal editiert hatte. Da hatte ich gefragt
> wo der Grenzwert von [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] liegt. Denn der scheint
> (nach meinen Versuchen mit dem Taschenrechner) bei 1 zu
> liegen. Allerdings weiss ich nicht, ob ich das in meiner
> Loesung auch zeigen muss, oder ob ich das als Tatsache
> voraussetzen kann.
Okay, dann habe ich das fehlinterpretiert. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}[/mm] geht natürlich gegen 1.
MfG
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Ja der Grenzwert ist 1, aber wenn ich so eine Aufgabe gestellt bekomme, muss ich dann noch zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] = 1 oder kann ich das voraussetzen als Tatsache, in etwa wie "die Welt ist rund". Ich hab's versucht zu googlen aber ich kann keine konkrete Aussage finden über [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}.
[/mm]
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Hallo Martin,
der GW von [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] ist in der Tat 1, denn man kann zeigen, dass [mm] $|\sqrt[n]{n}-1| \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm]
Dazu definiere [mm] $y_n:=\sqrt[n]{n}-1 \Rightarrow 1+y_n=\sqrt[n]{n} \Rightarrow \left(1+y_n\right)^n=n$
[/mm]
Nun ist [mm] $(1+y_n)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}y_n^k=1+\vektor{n \\ 1}y_n+\vektor{n \\ 2}y_n^2+....+\vektor{n \\ n}y_n^n\ge1+\vektor{n \\ 2}y_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}y_n^2$
[/mm]
Also [mm] $n-1\ge\frac{n(n-1)}{2}y_n^2\Rightarrow \frac{2}{n}\ge y_n^2\Rightarrow y_n\le\sqrt{\frac{2}{n}}$
[/mm]
Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und wähle [mm] $n_0=\frac{2}{\varepsilon^2}$
[/mm]
dann ist für alle [mm] $n>n_0: |\sqrt[n]{n}-1|=y_n\le\sqrt{\frac{2}{n}}<\sqrt{\frac{2}{n_0}}=\sqrt{\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon^2}}}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon$
[/mm]
Falls ihr das in der VL nicht gezeigt habt, kannst du dich damit darauf berufen, dass [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] 
Gruß
schachuzipus
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) jedoch nicht auf 1...
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
