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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius [mm] \rho [/mm] der folgenden Reihen und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z [mm] \in \IR. [/mm] Skizzieren Sie die Konvergenzkreise.
(a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})^j z^j [/mm]
(b) - (d) Versuch ich später |
Hallo,
also zunächst einmal ist die Bestimmung des Konvergenzradius in unserem Buch wie folgt beschrieben:
Die Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty}a_j(z-z_0)^j [/mm] habe den Konvergenzradius [mm] \rho, [/mm] und es gelte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{|a_n|}^n [/mm] = a (n-te Wurzel) oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = a
1. Ist a=0, so gilt [mm] \rho [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
2. Ist [mm] a=+\infty, [/mm] so gilt [mm] \rho=0
[/mm]
3. Ist [mm] 0
Da in (a) das ganze hoch j ist, hätte ich das "Wurzelkriterium" verwendet. Daraus folgt:
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel{(\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})^j }^j [/mm]
= [mm] (\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})
[/mm]
= [mm] (\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}}) [/mm]
für [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} (\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = a
Und daraus ergibt sich der Konvergenzradius [mm] \rho=\bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Stimmt die Aufgabe bis hier hin ?
Und was ist jetzt mit dem Rändern ?
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Erstmal danke für den Tipp mit den n-ten Wurzeln, die Schreibweise war mir nicht bekannt.
Jetzt hab ich aber noch ne kleine Frage, für [mm] x_1=\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{-3}{2} [/mm] überprüf ich ja jetzt noch auf konvergenz bzw. divergenz, und kann danach entscheiden ob der Rand konvergiert oder divergiert.
Gibt es hier einen Trick, vor allem für Klausuren, um Zeit zu sparen. In den Hausübung nehm ich Wolfram Alpha, aber in Klausuren sind Hilfsmittel nunmal nicht erlaubt.
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> Erstmal danke für den Tipp mit den n-ten Wurzeln, die
> Schreibweise war mir nicht bekannt.
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> Jetzt hab ich aber noch ne kleine Frage, für
> [mm]x_1=\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]x_2=\bruch{-3}{2}[/mm] überprüf ich ja
> jetzt noch auf konvergenz bzw. divergenz, und kann danach
> entscheiden ob der Rand konvergiert oder divergiert.
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> Gibt es hier einen Trick, vor allem für Klausuren, um Zeit
> zu sparen. In den Hausübung nehm ich Wolfram Alpha, aber
> in Klausuren sind Hilfsmittel nunmal nicht erlaubt.
Hallo,
einen Universaltrick, der fü alle Reihen funktioniert, gibt es nicht.
Du mußt die Randpunkte halt einsetzen ganz normal die Konvergenz der entstehenden Reihen untersuchen.
LG Angela
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