Konvergenzintervall Potenzreih < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
| Aufgabe | [mm] \sum_ {n=1}^{infinity} \bruch {2^n}{n} * x^{3n} [/mm]
Geben sie das Konvergenzintervall an |
Hallo,
Bei der Aufgabe dachte ich mir eine Substitution anzuwenden
1. [mm] x^3 [/mm] = z
2. Quotientenkriterium : (Alles in Betrag) lim n--> unendlich
[mm] \bruch {2^n* (n+1)} { n*2^n*2} [/mm]
= lim n--> unendlich [mm] \bruch { (n+1) } { 2n} [/mm]
Da 2n schneller wächst als n+1 ist das Ergebnis = 0
z = [mm] x^3 [/mm]
--> Reihe konvergiert für alle z = [mm] x^3 [/mm] <0
--> Konvergenzintervall ]- infinity , 0 [
Stimmt das so ? :)
Mit freundlichen Grüßen Chiko
|
|
| |
|
Hallo Chiko123,
> [mm]\sum_ {n=1}^{infinity} \bruch {2^n}{n} * x^{3n}[/mm]
>
> Geben sie das Konvergenzintervall an
> Hallo,
>
> Bei der Aufgabe dachte ich mir eine Substitution
> anzuwenden
>
> 1. [mm]x^3[/mm] = z
>
> 2. Quotientenkriterium : (Alles in Betrag) lim n-->
> unendlich
>
> [mm]\bruch {2^n* (n+1)} { n*2^n*2} [/mm]
> = lim n--> unendlich
> [mm]\bruch { (n+1) } { 2n}[/mm]
>
Das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium geht anders.
> Da 2n schneller wächst als n+1 ist das Ergebnis = 0
>
Das kannst Du hier nicht anwenden,
da sowohl im Zähler als auch Nenner
das "n" linear vorkommt.
Um hier den Grenzwert zu bestimmen,
konstruierst Du im Zähler eine Nullfolge,
in dem Du n ausklammerst.
Und siehe da, der Grenzwert ist ...
> z = [mm]x^3[/mm]
>
> --> Reihe konvergiert für alle z = [mm]x^3[/mm] <0
> --> Konvergenzintervall ]- infinity , 0 [
>
>
> Stimmt das so ? :)
>
> Mit freundlichen Grüßen Chiko
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Also laut meinen Folien aus der Uni ist
lim k--> unendlich r = (betrag) [mm] \bruch {ak} {ak+1} [/mm]
Das mit der Nullfolge versteh ich :)
Das Ergebnis stimmt dann auch ? also mein Intervall?
|
|
|
| |
|
Hallo Chiko123,
> Also laut meinen Folien aus der Uni ist
>
> lim k--> unendlich r = (betrag) [mm]\bruch {ak} {ak+1}[/mm]
>
Voraussetzung für Konvergenz ist, dass
[mm]\vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} \le q < 1[/mm]
Gilt das für fast alle [mm]k \in \IN[/mm],
so ist die Reihe sogar absolut konvergent.
> Das mit der Nullfolge versteh ich :)
>
> Das Ergebnis stimmt dann auch ? also mein Intervall?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also laut meinen Folien aus der Uni ist
>
> lim k--> unendlich r = (betrag) [mm]\bruch {ak} {ak+1}[/mm]
benutze geschweifte Klammern um die Indizes:
[mm] $...\frac{a_{k}}{a_{k+1}}$
[/mm]
Und für [mm] $a_n=2^n/n$ [/mm] ist es doch so, dass
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2^n}{2^{n+1}}*\frac{n+1}{n}\right)=\frac{1}{2}*\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}=1/2$
[/mm]
ist. Was hast Du also für einen Konvergenzradius in [mm] $z\,$? [/mm] Wie lautet dann
das Konvergenzintervall in [mm] $z\,,$ [/mm] und wie das bzgl. [mm] $x\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also laut meinen Folien aus der Uni ist
>
> lim k--> unendlich r = (betrag) [mm]\bruch {ak} {ak+1}[/mm]
nur nochmal zur Klarstellung: Die Formel
[mm] $(\*)$ $r=\lim_{k \to \infty} |a_{k+1}/a_k|$
[/mm]
kann unter gewissen Voraussetzungen benutzt werden, um den Konvergenzkreis
einer Potenzreihe
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n (x-x_0)^n$
[/mm]
zu berechnen. Dann folgt, dass diese Reihe konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < r$
und sie divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] > [mm] r\,.$ [/mm] Für [mm] $|x-x_0|=r$ [/mm] kann man
keine allgemeine Aussage treffen.
Was Mathepower Dir hier geantwortet hat, ist eher, woher diese Formel
[mm] $(\*)$ [/mm] kommt: Man wendet das Quotientenkriterium an.
Allerdings dann auf
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty b_n$
[/mm]
mit [mm] $b_n=b_n(x):=a_n*(x-x_0)^n\,.$
[/mm]
P.S. [mm] $n_0 \in \IN_0$ [/mm] fest!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\sum_ {n=1}^{infinity} \bruch {2^n}{n} * x^{3n}[/mm]
>
> Geben sie das Konvergenzintervall an
> Hallo,
>
> Bei der Aufgabe dachte ich mir eine Substitution
> anzuwenden
>
> 1. [mm]x^3[/mm] = z
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , siehe auch: https://vorhilfe.de/read?i=936147 für einen alternativen
Weg!
> 2. Quotientenkriterium : (Alles in Betrag) lim n-->
> unendlich
>
> [mm]\bruch {2^n* (n+1)} { n*2^n*2} [/mm]
> = lim n--> unendlich
> [mm]\bruch { (n+1) } { 2n}[/mm]
>
> Da 2n schneller wächst als n+1 ist das Ergebnis = 0
>
> z = [mm]x^3[/mm]
>
> --> Reihe konvergiert für alle z = [mm]x^3[/mm] <0
> --> Konvergenzintervall ]- infinity , 0 [
>
>
> Stimmt das so ? :)
das ist Unfug! Das Innere eines Konvergenzintervalles [mm] $I\,$ [/mm] einer Potenzreihe
ist immer symmetrisch um einen Punkt [mm] $x_0$. [/mm]
Ich rechne es jetzt einfach mal anders:
Die Reihe
[mm] $\sum_ {n=1}^{\infty} \bruch {2^n}{n} [/mm] * [mm] x^{3n}=\sum_ {n=1}^{\infty} \bruch {2^n}{n} [/mm] * [mm] (x-0)^{3n}$
[/mm]
ist (i.W.) identisch mit der Reihe
[mm] $\sum_{n=\red{0}}^\infty a_n (z-z_0)^n,$
[/mm]
wobei
[mm] $a_0:=0$ [/mm] und [mm] $a_n:=2^n/n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sowie [mm] $z_0:=0$ [/mm] und [mm] $z:=x^3\,.$
[/mm]
Die letzte Potenzreihe in [mm] $z\,$ [/mm] hat aber den Konvergenzradius
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n/n}}=...=1/2\,,$
[/mm]
d.h.
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$
[/mm]
konvergiert für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0|=|z| [/mm] < 1/2$ und divergiert für alle [mm] $|z-z_0|=|z| [/mm] > [mm] 1/2\,.$
[/mm]
Die Ausgangsreihe konvergiert demgemäß also für alle
[mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x^3|=|x|^3 [/mm] < 1/2$
und divergiert für alle
[mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x^3|=|x|^3 [/mm] > [mm] 1/2\,.$
[/mm]
Also ist ihr (offener) Konvergenzkreis die (offene) Kreisscheibe/das offene
Intervall
[mm] $\{x \in K:\;\;|x| < 1/\sqrt[3]{2}\}\,,$
[/mm]
was für [mm] $K=\IR$ [/mm] nichts anderes als [mm] $]-1/\sqrt[3]{2},1/\sqrt[3]{2}[$ [/mm] ist und im Falle [mm] $K=\IC$ [/mm] die offene
Kreisscheibe um $0=0+i*0$ mit Radius [mm] $1/\sqrt[3]{2}$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
