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Die Aufgabe heißt: Ermittle den Grenzwert g!
Mit dem Taschenrechner versucht man dann erstmal einen Grenzwert (Vermutung) zu finden.
Die Formel lautet: 2n+4 / n+1
Meine Vermutung: g=2
(E= Epsilon -> der Raum vor g)
Mit der Formel:
|(2n + 4 / n+1) - 2| = E
Als Ergebnis muss
n > 2/E-1
rauskommen...
Könnt ihr mir bitte genau (idiotensicher) schritt für schritt erklären wir man zu diesem Ergebnis kommt, weil der Lehrer ständig diese wichtigen Teilschritte nicht mit aufschreibt, geschweige denn erklärt.
Danke im Vorraus, Jaquanetta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 15.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Jaquanetta
du willst also zeigen, dass [m] a_n = \frac{2n + 4}{n+1} [/m] gegen den grenzwert [m] g = 2 [/m] konvergiert!
eine folge [m] (a_n) [/m] konvergiert genau dann gegen [m] g [/m] wenn man zu jedem [m] \varepsilon > 0 [/m] ein [m] N \in \mathbb{N} [/m] angeben kann, so dass alle [m] a_n [/m] mit [m] n \geq N [/m] nicht weiter als [m] \varepsilon [/m] von $g$ entfernt sind.
also sei nun ein beliebiges [m] \varepsilon > 0 [/m] vorgegeben. die aufgabe ist es nun ein [m] N [/m] so zu finden, dass [m] | a_ n - g | = \left| \frac{2n + 4}{n+1} - 2 \right| < \varepsilon [/m] für alle [m] n \geq N [/m]!
nun kann man ja einfach mal mit obiger ungleichung (bei dir ist das eine gleichung, wenn es um konvergenz geht muss es sich hierbei aber um eine ungleichung handeln, denn sonst suchst du nach einem [m] n [/m], so dass der abstand von [mm] $a_n$ [/mm] und $g$ genau [m] \varepsilon [/m] ist, interessant ist aber, für welche [m] n [/m] der abstand kleiner als [m] \varepsilon [/m] ist!) losrechnen und schauen, was für bedingungen man an [m] n [/m] stellen muss, dass sie erfüllt ist:
[mm] \left| \frac{2n + 4}{n+1} - 2 \right| < \varepsilon [/mm]
[mm] \left| \frac{2n + 4 - 2n - 2}{n+1} \right| < \varepsilon [/mm]
[mm] \left| \frac{2}{n+1} \right| < \varepsilon [/mm]
da der ausdruck im betrag für alle [m] n \in \mathbb{N} [/m] positiv ist, kann der betrag einfach weggelassen werden
[mm] \frac{2}{n+1} < \varepsilon [/mm]
nun kann der ausdruck ganz einfach nach [m] n [/m] aufgelöst werden. durch multiplikation mit [m] n + 1 > 0 [/m] (für ausdrücke die kleiner als null sind, würde sich das ungleichheitszeichen umdrehen) erhält man:
[mm] 2 < \varepsilon \cdot (n + 1) [/mm]
[mm] 2 < \varepsilon \cdot n + \varepsilon [/mm]
[mm] 2 - \varepsilon < \varepsilon n [/mm]
teilt man die ungleichung auf beiden seiten nun noch durch [m] \varepsilon > 0 [/m], so erhält man:
[mm] \frac{2 - \varepsilon}{\varepsilon} < n [/mm]
nun hat man mittels äquivalenzumformungen die bedingung, dass die folgengleider vom vermuteten grenzwert weniger als [m] \varepsilon [/m] entfernt liegen sollen, in eine ungleichung für [m] n [/m] umgewandelt. also ist die erste ungleichung erfüllt, sobald, die letzte ungleichung erfüllt ist, also [m]n > N := \frac{2 - \varepsilon}{\varepsilon} = \frac{2}{\varepsilon} - 1[/m] ist. folglich liegen alle folgenglieder [m] a_n [/m] für die [m] n > N [/m] ist weniger als [m] \varepsilon [/m] von $g$ entfernt, also konvergiert die folge gegen $g$!
etwas klarer geworden? wenn noch etwas unverständlich ist, frage einfach nach.
grüße
andreas
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