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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:03 Fr 23.07.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Folgender Satz ist zu beweisen:
Satz: [mm] F_n,F [/mm] seien Verteilungsfunktionen und für eine Stetigkeitsstellen x von F gelte punktweise [mm] F_n(x)\to [/mm] F(x). Zu einer Verteilungsfunktion F sei [mm] G_F [/mm] definiert durch [mm] G_F(y):=\inf\{x\in\IR:y\le F(x)\}. [/mm] (das ist die sog. Pseudoinverse). Dann gilt für eine Stetigkeitsstelle y von [mm] G_F [/mm] punktweise [mm] G_{F_n}(y)\to G_F(y).
[/mm]
Anmerkungen: Jede Verteilungsfunktion ist monoton, rechtsstetig mit existierenden linken Grenzwerten und erfüllt [mm] \limes_{x\to-\infty}F(x)=0, \limes_{x\to\infty}F(x)=1. [/mm] Jede Pseudoinverse ist monoton, linksstetig mit existierenden rechten Grenzwerten. Der Definitionsbereich einer Pseudoinversen ist (0,1), [0,1), (0,1] oder [0,1]. An einem offenen Rand geht sie gegen [mm] \pm\infty [/mm] (- links und + rechts) und an einem abgeschlossenen Rand nimmt sie einen endlichen Wert an.
Dazu habe ich zwei Fragen:
1) Ist die nachfolgende Argumentation soweit richtig?
Wenn Verteilungsfunktionenen [mm] F_n, [/mm] F an den Stetigkeitsstellen von F gilt [mm] F_n(x)\to [/mm] F(x), so ist das eine äquivalente Formulierung dafür, dass für die Bildmaße [mm] P_{X_n}, P_X [/mm] von Zufallsvariablen [mm] X_n, [/mm] X, die eben diese Verteilungsfunktionen besitzen, gilt, dass [mm] P_{X_n} [/mm] schwach gegen [mm] P_X [/mm] konvergiert, was per Definitionem das Bestehen von [mm] \integral fdP_{X_n}\to \integral fdP_{X} [/mm] für jede beschränkte und stetige Funktion ist, was auch in der Form [mm] \integral f(X_n)dP\to \integral [/mm] f(X)dP geschrieben werden kann. Nun haben [mm] X_n:=G_{F_n}, X:=G_F [/mm] auf (0,1) mit [mm] P=\lambda^1 [/mm] die Verteilungen [mm] F_n [/mm] und F. Darum gilt für jede beschränkte stetige Funktion f
[mm] \integral^1_0f(G_{F_n}(y))dy\to\integral^1_0f(G_F(y))dy. [/mm] (*)
2)
Wenn g die Eigenschaften einer Pseudoinversen hat, kann man dann zu einem [mm] y_0\in [/mm] (0,1) eine stetige beschränkte Funktion f konstruieren, so dass
[mm] \integral^1_0f\circ [/mm] g dy
sich "im wesentlichen" durch [mm] g(y_0) [/mm] und [mm] g(y_0+) [/mm] ausdrücken läßt? Mit im wesentlichen meine ich, das dieser Ausdruck durch die Wahl von f beliebig nahe an [mm] \integral^1_0f\circ [/mm] g dy herankommt.
3)
Könnte man das verwenden, um den Beweis zu ende zu bringen?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 01.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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