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Hallo
ich habe wieder einen Loesungsweg den ich nicht ganz verstehe. Ich zietiere einfach mal, und unterbreche an der Stelle, wo ich nicht verstehe, ok?
>> f := [mm] (q^n) [/mm] = 1, falls q = 1 und 0, falls |q| < 1.
Den Beweis hierfuer wollen wir einmal ausfuehrlich darstellen, damit Sie sehen, dass die Bestimmung eines Grenzwertes oft muehsam ist. Meist versucht man, Grenzwertberechnungen in geschickter Weise auf bekannte Grenzwerte zurueckzuspielen. Natuerlich muss dazu ein Fundus von Beispielen bekannt sein.
Fuer q = 0 bzw. q = 1 ist f die konstante Folge 0 bzw. 1, die bereits unter (a) behandelt wurde.
Sei also nun 0 < |q| < 1. Dann ist 1/|q| > 1, also 1/|q| = 1 + r mit einem r > 0. Wir wenden nun die Bernoullische Ungleichung an:
[mm] 1/(|q|^n) [/mm] = (1 + [mm] r)^n \ge [/mm] 1 + nr > nr fuer jedes n [mm] \in \IN,
[/mm]
also
(*) [mm] |q|^n [/mm] < 1/nr fuer jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist eine Toleranz [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben, so gibt es zu der positiven Zahl [mm] r\varepsilon [/mm] ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit
1/n0 < [mm] r\varepsilon, [/mm] also 1/n_0r < [mm] \varepsilon. [/mm] <<
Stop. Genau das mein ich. Wie kommt man jetzt genau auf dieses
1/n0 < [mm] r\varepsilon, [/mm] also 1/n_0r < [mm] \varepsilon [/mm] ???
>>Fuer alle n [mm] \ge [/mm] n0 gilt daher und wegen (*)
[mm] |q|^n [/mm] < 1/nr [mm] \le [/mm] 1/n_0r < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wegen [mm] |q|^n [/mm] = [mm] |q^n| [/mm] = [mm] |q^n [/mm] - 0| bedeutet dies [mm] |q^n [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon. [/mm] Mit eventueller Ausnahme von a1,...,an0-1 erfuellen also alle Folgenglieder an die verlangte Abstandsbedingung |an - 0| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> (*) [mm]|q|^n[/mm] < 1/nr fuer jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
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> Ist eine Toleranz [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vorgegeben, so gibt es zu
> der positiven Zahl [mm]r\varepsilon[/mm] ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit
>
> 1/n0 < [mm]r\varepsilon,[/mm] also 1/n_0r < [mm]\varepsilon.[/mm] <<
>
> Stop. Genau das mein ich. Wie kommt man jetzt genau auf
> dieses
>
> 1/n0 < [mm]r\varepsilon,[/mm] also 1/n_0r < [mm]\varepsilon[/mm] ???
[mm] r\varepsilon [/mm] ist eine positive Zahl.
Zu jeder positiven Zahl existiert eine kleinere positive Zahl.
Es existiert sogar eine kleinere positive Zahl, die das Reziproke einer (entsprechenden) großen natürlichen Zahl n ist.
[mm] n_0 [/mm] ist ein solches n.
Wenn man ganz exakt sein wollte, müsste man [mm] n_0 [/mm] noch genauer charakterisieren, zum Beispiel indem man sagt, [mm] n_0 [/mm] ist das kleinste n, so dass $1/n0 < [mm] r\varepsilon$ [/mm] gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 02.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Danke!
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