Konvergenzbereich Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 21.05.2008 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Zu bestimmen ist der Konvergenzbereich der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2x-3)^n}{(5n)^2+n} [/mm]
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Hallo.
Also ich hab bei der Aufgabe folgendes versucht:
Ich hab das Quotientenkriterium angewandt (darf man ja anwenden, da [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(5n)^2+n} \not=0 [/mm] ist für alle [mm] n\ge1, [/mm] oder?).
Dann hab ich halt nach dem Kriterium [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{c_(n+1)}{c_n}
\right| [/mm] berechnet (n+1 sollte der Index von c im Zähler sein). Da kommt dann 1 raus. Also soviel trau ich mir selber zu, dass der Grenzwert stimmt.
Dann hab ich folglich nach der Formel r=1/q (q=lim...) als Konvergenzradius für 2x-3 1 rausgebracht.
Nun muss ich noch die Randstellen untersuchen...Aber was sind die Ränder dann? Ich hab mir dann gedacht, ich komm von [mm] -1\le2x-3\le1 [/mm] auf [mm] 1\le x\le2. [/mm] Und dann hätte ich in die Potenzreihe einmal für x 1 und einmal 2 eingesetzt und dann komm ich auf
1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(5n)^2+n} [/mm] und
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(5n)^2+n}
[/mm]
1. ist dann nach dem Leibnizkriterium konvergent, da [mm] a_n [/mm] monoton fallende Nullfolge und
2. ist nach dem Majorantenkriterium konvergent (Majorante ist bei mir [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}.)
[/mm]
Soweit von meiner Seite...
Schaut mal bitte nach, ob man das so machen kann...
Und was ich hier auch immer nicht ganz verstehe, wann ich dieses Wurzelkriterium anwenden soll und wann das Quotientenkriterium bzw. wie ich beim WK auf dem lim sup komme?!
Grüße, Marina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 21.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Zu bestimmen ist der Konvergenzbereich der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2x-3)^n}{(5n)^2+n}[/mm]
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> Hallo.
>
> Also ich hab bei der Aufgabe folgendes versucht:
> Ich hab das Quotientenkriterium angewandt (darf man ja
> anwenden, da [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{(5n)^2+n} \not=0[/mm] ist für alle
> [mm]n\ge1,[/mm] oder?).
> Dann hab ich halt nach dem Kriterium [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{c_(n+1)}{c_n}
\right|[/mm]
> berechnet (n+1 sollte der Index von c im Zähler sein). Da
> kommt dann 1 raus. Also soviel trau ich mir selber zu, dass
> der Grenzwert stimmt.
Hallo, q=1 ist wertlos beim Quotientenkriterium,
es müsste ein q rauskommen, das kleiner als 1 ist.
Viele Grüße
Abakus
> Dann hab ich folglich nach der Formel r=1/q (q=lim...) als
> Konvergenzradius für 2x-3 1 rausgebracht.
> Nun muss ich noch die Randstellen untersuchen...Aber was
> sind die Ränder dann? Ich hab mir dann gedacht, ich komm
> von [mm]-1\le2x-3\le1[/mm] auf [mm]1\le x\le2.[/mm] Und dann hätte ich in die
> Potenzreihe einmal für x 1 und einmal 2 eingesetzt und dann
> komm ich auf
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(5n)^2+n}[/mm] und
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(5n)^2+n}[/mm]
> 1. ist dann
> nach dem Leibnizkriterium konvergent, da [mm]a_n[/mm] monoton
> fallende Nullfolge und
> 2. ist nach dem Majorantenkriterium konvergent (Majorante
> ist bei mir [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}.)[/mm]
> Soweit
> von meiner Seite...
> Schaut mal bitte nach, ob man das so machen kann...
> Und was ich hier auch immer nicht ganz verstehe, wann ich
> dieses Wurzelkriterium anwenden soll und wann das
> Quotientenkriterium bzw. wie ich beim WK auf dem lim sup
> komme?!
>
> Grüße, Marina
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 21.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Hä? Ja, wie jetzt? Kann ich das QK gar nicht benutzen? Aber in der Lösungsskizze stehts aber auch mit QK...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mi 21.05.2008 | | Autor: | abakus |
Es genügt nicht zu zeigen, dass der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gegen 1 geht. Er (bzw. sein Betrag) muss gegen eine Zahl gehen, die kleiner als 1 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 21.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Aha...Das steht aber irgendwie nirgends in der Definition bzw. ich finds wohl nicht...Und was mach ich dann mit der Aufgabe?
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Hallo Marina,
ich hätte zwar das Wurzelkriterium bzw. das Kriterium von Cauchy-Hadamard benutzt, aber du hast richtig berechnet, dass der Konvergenzradius der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(5n)^2+n}\cdot{}(2x-3)^n$ [/mm] genau 1 ist
Damit hast du auch richtig gesagt, dass die Reihe für $|2x-3|<1$ konvergiert, also für $1<x<2$
Deine Überlegungen für die Ränder des Konvergenzintervalls sind auch richtig, die Potenzreihe konvergiert also für alle [mm] $x\in[1,2]$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 21.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Also stimmts jetzt doch, was ich da berechnet habe? Bin grad etwas verwirrt...Machts dann nix, dass für q 1 rauskommt und dann r auch 1 ist? Nur interessehalber und falls du Zeit hast...wie wärs denn mit WK gegangen?
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Hallo nochmal,
das ist doch ne Potenzreihe und deren Konvergenzradius $r$ ist [mm] $\in[0,\infty]$
[/mm]
Den berechnest du mit der Formel von Cauchy-Hadamard:
Du hast [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(5n)^2+n}\cdot{}(2x-3)^n$
[/mm]
Berechne [mm] $R=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(5n)^2+n}\right|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $r=\frac{1}{R}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Also berechne mal [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(5n)^2+n}\right|}$
[/mm]
Das mit dem "q=1" und keine Aussage über Konvergenz betrifft "normale" Reihen, diese ist eine Potenzreihe!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo nochmal,
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> das ist doch ne Potenzreihe und deren Konvergenzradius [mm]r[/mm]
> ist [mm]\in[0,\infty][/mm]
>
> Den berechnest du mit der Formel von Cauchy-Hadamard:
>
> Du hast
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(5n)^2+n}\cdot{}(\red{2}x-3)^n[/mm]
>
> Berechne
> [mm]R=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(5n)^2+n}\right|}[/mm]
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Versteh ich nun etwas falsch? Da ist doch noch der Faktor $2$ vor $x$, also müsste man, meiner unmassgeblichen Meinung nach, eher folgendes berechnen:
[mm]R=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\red{2^n}}{(5n)^2+n}\right|}[/mm]
.. und Mittelpunkt des Konvergenz"kreises" wäre dann [mm] $x_0=\frac{3}{2}$ [/mm] und nicht etwa [mm] $x_0=3$.
[/mm]
Nachtrag: Ok, man kann natürlich die Bedingung $|2x-3|<R$ nachträglich zu $|x-3/2|<R/2$ umformen. Insofern war meine Mitteilung eine vielleicht überflüssige Nörgelei.
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Hallo Somebody,
du hast natürlich Recht, es ist schon sinnvoller, vorher [mm] 2^n [/mm] auszuklammern, um die Potenzreihe in die richtige Form [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{(5n^2)+n}\cdot{}\left(x-\frac{3}{2}\right)^n$ [/mm] zu bringen.
Daran habe ich gar nicht gedacht ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") @ Marina
Der Konvergenzradius ist damit dann [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] um [mm] $x_0=\frac{3}{2}$ [/mm] herum, also bleibt zumindest das Konvergenintervall richtig
Danke für's Aufpassen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Do 22.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Jetzt bin ich's nochmal...Aber wenn ich das wie oben beschrieben mit dem QK mach, dann muss ich [mm] 2^n [/mm] nicht rausziehen, oder? Bin irgendwie schon wieder a bissl planlos...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
Auch mit dem QK kannst Du zunächst [mm] $2^n$ [/mm] ausklammern (das kürzt sich im QK auch schnell raus). Das wäre wohl auch ratsam ...
Gruß
Loddar
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