Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag,
ich scheitere an folgende Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Aufgabe:
Weisen sie schlüssig nach, dass nachfolgend gegebene Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
Meine Idee: Ich würde es übers Wurzelkriterium zeigen. Weiß aber nicht, ob das so richtig ist.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{3-\bruch{1}{n})^{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{3-\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}*n}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}+1}}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1+n}{n}}}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*n^{\bruch{1+n}{n}-1}}{n*(3-\bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{3-\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , da [mm] \bruch{1}{3}<1 [/mm] => Konvergenz
Kann man das so machen?
LG Rocky1994
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Richtig gemacht!
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Di 01.08.2017 | | Autor: | Rocky1994 |
Vielen Dank für deine Hilfe!
LG Rocky1994
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mi 02.08.2017 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{3-\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}\cdot{}n}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}+1}}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1+n}{n}}}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n\cdot{}n^{\bruch{1+n}{n}-1}}{n\cdot{}(3-\bruch{1}{n})} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{3-\bruch{1}{n}} [/mm] $
Ganz rechts und ganz links steht dasselbe ! Wozu das Gedöns in der Mitte ?
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