Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_0 [/mm] = 1
für n+1>0 sei [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{5(1+a_n)}{6+a_n}
[/mm]
Konvergenz? Wenn ja, gebe den Grenzwert an. |
Hallo,
ich gehe so vor, dass ich zuerst die Monotonie zeige und dann die Beschränktheit.
Ich versuche erstmal rauszufinden, wie sich die Folge für steigende n entwickelt.
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{5(1+a_n)}{6+a_n}
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_{0+1} [/mm] (also n =0 )
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{5(1+a_0)}{6+a_0} [/mm] = [mm] \bruch{5(1+1)}{6+1} [/mm] = [mm] \bruch{10}{7} [/mm] ~ 1,42
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{5(1+a_1}{6+a_1} [/mm] ~ 1,63
Die Folge scheint monoton wachsend zu sein.
Beweis: zu zeigen [mm] a_{n+1} \ge a_n
[/mm]
[mm] \bruch{5(1+a_n)}{6+a_n} \ge a_n
[/mm]
[mm] \bruch{5+5a_n}{6+a_n} [/mm] - [mm] a_n \ge [/mm] 0
Gleichnamig machen:
[mm] \bruch{5+5a_n+(6+a_n)(-a_n)}{6+a_n} \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{-a_n^2-a_n+5}{6+a_n} \ge [/mm] 0
Ab hier bin ich nicht mehr sicher. Ich könnte jetzt die Ungleichung mit [mm] (6+a_n) [/mm] multiplizieren, um den Bruch aufzulösen, aber ich weiß nicht, was [mm] a_n [/mm] ist. Das heißt, es könnte größer oder kleiner 0 sein und je nachdem muss das Ungleichungszeichen umgedreht werden. Wie geht man hier am besten vor ?
Vielen Dank im Voraus.
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Diese Folge ist jedoch konvergent.
Kennst du die [mm] \varepsilon [/mm] Methode?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:13 Mi 23.11.2016 | | Autor: | fred97 |
> Diese Folge ist jedoch konvergent.
Ach ja ? Woher ist Dir das bekannt ??
>
> Kennst du die [mm]\varepsilon[/mm] Methode?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 22.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst gleich die erste Ungleichung mit [mm] 6+a_n [/mm] multiplizieren da du ja leicht sehen kannst dass [mm] a_n>0
[/mm]
Aber du musst wohl erst eine obere Schranke finden.
Gruß leduart
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Hallo,
wieso ist [mm] a_n [/mm] >0 ? Woran erkennt man das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Di 22.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_0>0 [/mm] und auf der rechten Seite stehen nur positive Sachen, natürlich kann man auch das mit Induktion beweisen , aber ich denke das ist so trivial, dass man das nicht muss.
Gruß leduart
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Ah, ich verstehe.
Aber wenn ich die erste Ungleichung mit [mm] (6+a_n) [/mm] multipliziere, werde ich am Ende eine quadratische Gleichung mit [mm] a_n^2+a_n-5 \le [/mm] 0 erhalten
Wenn ich diese Gleichung löse, kommen zwei Werte raus. Ein positiver und ein negativer. Das Problem ist, die positive Lösung wäre dsnn nicht kleinergleich 0, sondern größer.
Das zweite Problem: Die zweite negative Lösung wäre zwar kleinergleich 0, ist aber trotzdem falsch, da die Folge niemals negativ wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Di 22.11.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
hast du schon mal die Folge mehr als 5 mal iteriert?
Die konvergiert anscheinend.
Mit epsilon ließe es sich sogar beweisen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 22.11.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
Ja, das weiß ich, aber ich würde die konvergenz gerne mit Monotonie plus Beschränktheit beweisen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 22.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst [mm] a_n^2+a_n-5<0
[/mm]
[mm] (a_n+1/2)^2-5,25<0 [/mm]
[mm] (a_n+1/2)^2<5,25
[/mm]
[mm] 0
so Sachen passieren, wenn man immer blindlings die pq Formel nimmt und nicht lieber quadratische Ergänzung,
Gruß leduart
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Hallo nochmal,
Quadratische Ergänzung gibt es natürlich auch noch, aber eigentlich muss die p-q Formel ja auf das Gleiche hinauslaufen. Aber hier ist das nicht so. Warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mi 23.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
die pq Formel ist das Ergebnis der quadratischen Ergänzung, aber man bw du sieht offensichtlich die Ungleichung nicht richtig , weil du einfach Nullstellen ausrechnest,
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 02.12.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> du willst [mm]a_n^2+a_n-5<0[/mm]
> [mm](a_n+1/2)^2-5,25<0[/mm]
> [mm](a_n+1/2)^2<5,25[/mm]
> [mm]0
vielleicht sollte man auch mal [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bzw. [mm] $\iff$ [/mm] verwenden, dann verwirrt
solch' eine Rechnung den ein oder anderen weniger.
Wenn man annimmt, dass zunächst [mm] $a_n \in \IR$, [/mm] dann
[mm] $a_n^2+a_n-5<0$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] ... [mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $(a_n+1/2)^2 [/mm] < [mm] 21/4\,.$
[/mm]
Mit der dritten binomischen Formel oder weil man sich halt erinnert, dass
für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $p [mm] \ge [/mm] 0$ nunmal [mm] $x^2 [/mm] < p$ [mm] $\iff$ [/mm] $|x| < [mm] \sqrt{p}$ [/mm] gilt (bei der einen Richtung
wende man auch einfach die dritte binomische Formel an) folgt oben die
Gleichwertigkeit zu
[mm] $|a_n \,+1/2| [/mm] < [mm] \sqrt{21}/2$
[/mm]
[mm] $\iff$ ($a_n \ge [/mm] -1/2$ und [mm] $a_n\,+1/2 [/mm] < [mm] \sqrt{21}/2$) [/mm] oder [mm] ($a_n \le [/mm] -1/2$ und [mm] $-a_n\,-1/2 [/mm] < [mm] \sqrt{21}/2$).
[/mm]
Der letzte Fall rechts "erledigt sich" im Falle [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ von alleine. Und
warum hier bei der pq-Formel angeblich etwas anderes rauskommen soll,
erschließt sich mir auch nicht.
Der Sinn der Anwendung der pq-Formel bei einer "passenden" Ungleichung
ist es doch einfach, den Polynomterm als Produkt zu schreiben. Nun ist
beispielsweise das Produkt zweier Zahlen genau dann kleinergleich Null,
wenn eine der beiden Zahlen kleinergleich Null und die andere größergleich
Null ist. Da gibt's keine Diskrepanzen bei der Anwendung, höchstens passieren
Flüchtigkeitsfehler oder etwas wurde "nicht zu Ende gedacht", wenn man
die pq-Formel "anstatt" quadratischer Ergänzung anwendet. Ich sehe hier
auch nicht, dass da von der Logik her die pq-Formel schlechter als die
quadratische Ergänzung ist, zumal - kurzgesagt - die pq-Formel das
schnelle Ergebnis der Anwendung der quadratischen Ergänzung ist.
> so Sachen passieren, wenn man immer blindlings die pq
> Formel nimmt und nicht lieber quadratische Ergänzung,
Ich glaube eher, so Sachen passieren, wenn man etwas anwendet und sich
gar nicht klar macht, inwiefern das Ergebnis der Anwendung im Hinblick auf
sein Ziel eigentlich Sinn ergeben wird. 
Gruß,
Marcel
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Soweit ich das verstehe, zeigt der Versuch, ab welchem [mm] x=a_{n} [/mm] der Bruch [mm] \bruch{5*(1+x)}{6+x}\ge [/mm] x wird und die x haben mit den Werten der [mm] a_{n} [/mm] gar nichts mehr zu tun. Ich habe in Wikki unter Rekursionsfolgen gespickt und vermute nun eher Folgendes:
Induktion: Hypothese [mm] a_{n}\ge a_{n-1}
[/mm]
[mm] n\mapsto n+1:a_{n+1}=\bruch{5*(1+a_{n})}{6+a_{n}}\ge\bruch{5(1+a_{n})}{6+a_{n-1}}=a_{n}\Rightarrow [/mm]
Mit Hauptnenner (ohne Beweis, alle [mm] a_{n}\ge0) [/mm] multiplizieren und umstellen liefert, wenn ich mich nicht verrechnet habe, [mm] 5(a_{n-1}-a_{n}) \le0, [/mm] richtig nach Hypothese... [mm] a_{n+1}\ge a_{n} [/mm] , d.h. Folge monoton wachsend
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Hallo
> Induktion: Hypothese [mm]a_{n}\ge a_{n-1}[/mm]
> [mm]n\mapsto n+1:a_{n+1}=\bruch{5*(1+a_{n})}{6+a_{n}}\red{\ge}\bruch{5(1+a_{n})}{6+a_{n-1}}=a_{n}\Rightarrow[/mm]
Na, stimmt das denn?
Wenn [mm]a_n\ge a_{n-1}[/mm] ist, dann ist [mm]6+a_n\ge 6+a_{n-1}[/mm]
Übergang zum Kehrbruch dreht aber das Relationszeichen, also
[mm]\frac{1}{6+a_n}\red{\leq}\frac{1}{6+a_{n-1}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Pardon, Eingabefehlerkorrektur:
$ [mm] n\mapsto n+1:a_{n+1}=\bruch{5\cdot{}(1+a_{n})}{6+a_{n}}\red{\ge}\bruch{5(1+a_{n-1})}{6+a_{n-1}}=a_{n}\Rightarrow [/mm] $ ,
[mm] 6+a_{n}, 6+a_{n-1}jeweils [/mm] >0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 5*(1+a_{n})(6+a_{n-1})\ge5*(1+a_{n-1})(6+a_{n})\Rightarrow
[/mm]
[mm] 5(a_{n}-a_{n-1}) \ge0 [/mm] da [mm] a_{n}\ge a_{n-1}
[/mm]
Jetzt fehlerfrei? Auf jeden Fall vielen Dank für den Hinweis. Auch Leichtsinnsfehler sind eine Schwäche von mir.
Siggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 02.12.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo PC-Doktor,
> [mm]a_0[/mm] = 1
> für n+1>0 sei [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{5(1+a_n)}{6+a_n}[/mm]
weil [mm] $a_0 [/mm] > 0$ ist, ist [mm] $a_1 [/mm] > 0$ (bei [mm] $a_1$ [/mm] sind sowohl der Zähler als auch der
Nenner echt positiv); analog folgt aus [mm] $a_1 [/mm] > 0$ dann [mm] $a_2 [/mm] > 0$ etc., d.h. [mm] $a_n [/mm] > 0$
für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] (da wurde schon gesagt, dass man das auch
sauber per Induktion beweisen kann; würde ich zur Übung empfehlen).
Zur Monotonie: Du hattest den Ansatz, [mm] $a_{n+1}/a_n \ge [/mm] 1$ für jedes [mm] $n\,$ [/mm] nachzuweisen (wenn
man [mm] $(a_n)_n$ [/mm] als monoton wachsend vermutet UND alle [mm] $a_n [/mm] > 0$ sind), analog ist es oft
auch sinnvoll, [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] zu untersuchen [mm] ($\ge [/mm] 0$ für jedes [mm] $n\,$ [/mm] im Falle von monoton wachsend).
Es ist
[mm] $a_{n+1}/a_n \ge [/mm] 1$
[mm] $\iff$ $5+5a_n \ge 6a_n+a_n^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a_n^2+a_n-5 \le [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $(a_n-\{1/2+\sqrt{21}/2\})*(a_n-\{1/2-\sqrt{21}/2\}) \le [/mm] 0$.
Also ist, wenn die Behauptung stimmt, nachzuweisen, dass entweder
1.) simultan [mm] $a_n-\{1/2+\sqrt{21}/2\} \le [/mm] 0$ und [mm] $a_n-\{1/2-\sqrt{21}/2\} \ge [/mm] 0$
oder
2. ) simultan [mm] $a_n-\{1/2+\sqrt{21}/2\} \ge [/mm] 0$ und [mm] $a_n-\{1/2-\sqrt{21}/2\} \le [/mm] 0$.
Der 2. Fall ist unmöglich (mach' Dir das bitte klar!), und mit dem Zusatzwissen
[mm] $a_n [/mm] > 0$ ist der 1. Fall "vorhanden", wenn wir zeigen, dass für jedes
$n [mm] \in \IN_0$ [/mm] auch [mm] $a_n \le \frac{1+\sqrt{21}}{2}$ [/mm] gilt. (Beachte, dass [mm] $1/2-\sqrt{21}/2 [/mm] < 0$ ist.)
Für [mm] $a_0$ [/mm] ist offenbar [mm] $a_0=1=\frac{1+\sqrt{1}}{2} \le \frac{1+\sqrt{21}}{2}$.
[/mm]
Sei nun $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit [mm] $a_n \le \frac{1+\sqrt{21}}{2}\,.$ [/mm] Dann gilt wegen [mm] $a_n [/mm] > 0$
[mm] $a_{n+1} \le \frac{1+\sqrt{21}}{2}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $5+5a_n \le (6+a_n)\frac{1+\sqrt{21}}{2}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $10+10a_n \le 6+6*\sqrt{21}+a_n+\sqrt{21}a_n$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(9-\sqrt{21})a_n \le 6*\sqrt{21}-4$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a_n \le \frac{6*\sqrt{21}-4}{9-\sqrt{21}}\,.$
[/mm]
Überlege Dir, dass aus [mm] $a_n \le \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx [/mm] 2,79 [mm] \le [/mm] 2,8$ auch [mm] $a_n \le \frac{6*\sqrt{21}-4}{9-\sqrt{21}} \approx [/mm] 5,319$ folgt.
(Das geht auch ohne Taschenrechner, indem man sich "elementar" davon
überzeugt, dass [mm] $\frac{1+\sqrt{21}}{2}\;\le\;\frac{6*\sqrt{21}-4}{9-\sqrt{21}}$ [/mm] gilt!!)
Damit gilt in der letzten Rechnung die unterste Ungleichung und die Behauptung
folgt aus dieser durch Anwendung der Pfeile [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] und Lesen
der Rechnung von unten nach oben.
Wir wissen also mit dieser Rechnung: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist durch [mm] $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ [/mm] nach oben
beschränkt (und damit ist natürlich auch jede größere Zahl als [mm] $(1+\sqrt{21})/2$ [/mm] eine
obere Schranke; etwa auch [mm] $3^9$) [/mm] und mit der Schranke [mm] $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ [/mm] haben wir
auch gesehen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist. Nach dem Hauptsatz über
monotone Folgen konvergiert [mm] $(a_n)_n$.
[/mm]
Aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ folgt auch [mm] $a_{n+1} \to [/mm] a$ und mit den Rechenregeln für konvergente
Folgen erschließt sich somit für den Grenzwert [mm] $a\,$ [/mm] der Folge [mm] $(a_n)_n$:
[/mm]
$a [mm] \leftarrow a_{n+1}=\frac{5+5a_n}{6+a_n} \to \frac{5+5a}{6+a}$
bei $n \to \infty$ und wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes folgt somit
$a=\frac{5+5a}{6+a}\,.$
Dies führt zu einer quadratischen Gleichung in $a\,$ (den Polynomterm haben
wir oben schonmal gesehen) und nach Anwendung der pq-Formel oder
meinetwegen auch der quadratischen Ergänzung folgt
$\left(a-\left\{\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right\}\right)*\left(a-\left\{\frac{1-\sqrt{21}}{2}\right\}\right)=0$
und damit kommen wir zu $a=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ oder $a=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
Weil aber alle $a_n > 0$ sind, muss $a=\lim_{n \to \infty}a_n$ halt $a \ge 0$ erfüllen
und daher ist $a=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\,.$
P.S. Von der Logik her wäre hier auch eine andere Reihenfolge möglich
gewesen:
1. Man beobachtet, dass offensichtlich alle $a_n > 0$ sind.
2. Man vermutet (meinetwegen durch Berechnung einiger Folgeglieder), dass
$(a_n)_n$ monoton wachsend ist.
3. Man vermutet, dass $(a_n)_n$ gegen ein $a\,$ konvergiert. Dann ergibt sich nämlich
wie im letzten Schritt oben:
Es gilt notwendig $a=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ oder $a=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ und damit sogar notwendig $a=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\,.$
4. Wenn 2. und 3. stimmen, dann sollte $a=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ auch eine obere Schranke für $(a_n)_n$ sein....
Jetzt legt man etwa los und zeigt, dass dem so ist und beweist danach mit
diesem Ergebnis, dass sich die Vermutung aus 2. auch bestätigen läßt. Etc. pp.!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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