Konvergenz von atan in L^1 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 So 11.12.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei [mm] (f_n)_{n \in \mathbb{N}} [/mm] eine Funktionenfolge, die für n [mm] \to \infty [/mm] in [mm] L^1((0,1)) [/mm] gegen f konvergiert. Überprüfe, ob dann auch [mm] arctan(f_n) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] in [mm] L^1((0,1)) [/mm] konvergiert. |
Ich weiß nicht genau, wie ich am besten an die Sache ran gehe. Ich könnte den Konvergenzsatz von Vitali verwenden und zeigen, dass es keine Massenkonzentration/Flucht gibt und somit die Konvergenz in [mm] L^1 [/mm] gelten muss. Dann benutze ich aber nicht die Information, dass die beiden auch ohne arctan schon in [mm] L^1 [/mm] konvergieren. Die Aufgabenstellung impliziert aber, dass ich lim [mm] \integral_{}^{} [/mm] |fn - f| [mm] d\mu [/mm] = 0 schon verwenden sollte
Alternativ dachte ich auch, über die (Semi)Norm in [mm] \mathbb{R}^n [/mm] zugehen und dann einfach den Abstand zu messen. Wenn ich mir das so vorstelle, dann weiß ich ja, dass lim [mm] f_n [/mm] = f (laut vorraussetzung) ist und somit auch [mm] arctan(f_n) [/mm] = arctan(f) für n [mm] \to \infty [/mm] sein muss. Ich kann es nur nicht mathematisch sauber argumentieren. Kann mir jemand einen Weg in die richtige Richtung zeigen? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zeige mit dem Mittelwertsatz:
|arctan(x)-arctan(y)| [mm] \le [/mm] |x-y| für x,y [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 So 11.12.2011 | | Autor: | shadee |
Ah genau das habe ich gesucht. Danke!
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