Konvergenz von Zahlenfolgen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich kämpfe gerade mit der Konvergenz komplexer Zahlenfolgen. Ich habe erstmal versucht die Beträge der komplexen Zahlen anzuschauen (die Konvergenz dieser Beträge ist ja ein notwendiges Kriterium):
a) [mm] \vmat{ z_{n} } [/mm] = [mm] n^{3}e^{-4n}\vmat{ cos(n) + isin(n) }
[/mm]
= [mm] n^{3}e^{-4n}\wurzel{cos^{2}(n) + sin^{2}(n)}
[/mm]
= [mm] n^{3}e^{-4n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ z_{n} } [/mm] = 0
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ z_{n} } [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(\bruch{n+1}{n})^{2}cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + (\bruch{n}{n+1})^{2}sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{2}cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + (\bruch{n}{n+1})^{2}sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})} [/mm] = [mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} 1} [/mm] = 1
Stimmt das soweit? Bei der Konvergenz der normalen Zahlenfolgen kann ich doch sozusagen den Imaginär- und Realteil getrennt betrachten, oder? Ich wüsste jetzt allerdings auch nicht wie ich beispielsweise [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{3}cos(n)}{e^{-4n}} [/mm] berechnen sollte. Intuitiv würde ich einfach = 0 hinschreiben wegen dem Exponentialterm. Wie mache ich das?
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich kämpfe gerade mit der Konvergenz komplexer
> Zahlenfolgen. Ich habe erstmal versucht die Beträge der
> komplexen Zahlen anzuschauen (die Konvergenz dieser Beträge
> ist ja ein notwendiges Kriterium):
>
> a) [mm]\vmat{ z_{n} }[/mm] = [mm]n^{3}e^{-4n}\vmat{ cos(n) + isin(n) }[/mm]
>
> = [mm]n^{3}e^{-4n}\wurzel{cos^{2}(n) + sin^{2}(n)}[/mm]
> =
> [mm]n^{3}e^{-4n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ z_{n} }[/mm] = 0
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ z_{n} }[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(\bruch{n+1}{n})^{2}cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + (\bruch{n}{n+1})^{2}sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{2}cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + (\bruch{n}{n+1})^{2}sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} cos^{2}(\bruch{n\pi}{2}) + sin^{2}(\bruch{n\pi}{2})}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} 1}[/mm] = 1
>
> Stimmt das soweit? Bei der Konvergenz der normalen
> Zahlenfolgen kann ich doch sozusagen den Imaginär- und
> Realteil getrennt betrachten, oder? Ich wüsste jetzt
> allerdings auch nicht wie ich beispielsweise
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{3}cos(n)}{e^{-4n}}[/mm]
> berechnen sollte. Intuitiv würde ich einfach = 0
> hinschreiben wegen dem Exponentialterm. Wie mache ich das?
>
> ciao, Mike.
Zunächst einmal ist für t [mm] \in \IR [/mm] : [mm] $e^{it} [/mm] = cost(t) +i sin(t)$ und damit
(*) [mm] |e^{it}| [/mm] = 1.
(a) hast Du richtig gemacht, es gilt also [mm] |z_n|--> [/mm] 0 und damit auch [mm] z_n [/mm] --> 0
Zu (b) Mit (*) siehst Du: [mm] |z_n| [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n}, [/mm] also [mm] |z_n| [/mm] --> 1
[mm] (z_n) [/mm] selbst ist aber divergent !! Dazu betrachte mal die Teilfolge [mm] (z_{2n})
[/mm]
Rechne nach, dass [mm] z_{2n} [/mm] = [mm] (-1)^n\bruch{2n+1}{2n} [/mm] ist.
[mm] (z_n) [/mm] hat also mindestens 2 Häufungswerte
FRED
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Damit der Betrag von [mm] z_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] ist müsste aber doch [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] auch vor dem Sinus stehen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Damit der Betrag von [mm]z_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] ist müsste aber
> doch [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] auch vor dem Sinus stehen oder?
Sch...., Du hast recht. Da hab ich nicht genau hingesehen, Pardon.
Mal sehen , was sich machen lässt ...
FRED
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Ok.. ich hatte mir das nur so überlegt, dass der cosinus und der sinus ja zwischen den Werten -1,0 und 1 hin- und herspringen und die Terme vor ihnen gegen 1 gehen also kann die Folge eigentlich nicht konvergieren aber ka wie ich das "mathematisch" ausdrücken soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zunächst einmal ist Deine obige Rechnung für [mm] |z_n| [/mm] --> 1 korrekt
betrachte die Teilfolge [mm] (z_{2n})
[/mm]
Rechne nach: [mm] z_{2n} [/mm] = [mm] (-1)^n\bruch{2n+1}{2n}
[/mm]
und Du siehst: [mm] (z_n) [/mm] hat mindestens 2 Häufungswerte, ist also divergent.
FRED
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