Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Könnte mir jemand vielleicht bei dem Problem mit der Konvergenz von Reihen helfen....?
Ich kenne zwar all die Konvergenzkrieterien und glaube, die auch verstanden zu haben, doch bei manchmal komme ich einfach bei der Untersuchung der Konvergenz einer Reihe nicht weiter. Hier habe ich zum Beispiel eine Aufgabe, wo man die folgenden sechs Reihen auf Konvergenz prüfen soll:
(1) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ 1/(n+1)
Hier denke ich, dass die Reihe konvergiert, denn 1/ (n+1) strebt gegen 0.
(2) $ [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} [/mm] $ (1/(n+1) - 1/(n-1))
Hier strebt (1/(n+1) - 1/(n-1)) zwar von unten gegen 0. Heißt es aber auch, dass diese Reihe deswegen konvergiert?
(3) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ ( [mm] n^2 [/mm] + 3n)/( [mm] n^3 [/mm] - 3n)
Diese Reihe divergiert, denn man kann sie als ein Produkt schreiben und zwar (1/n)*((n + 3)/( $ [mm] n^2 [/mm] $ - 3)) und da (1/n) - die harmonische Reihe - divergiert, divergiert auch die gesamte Reihe.
(4) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ $ [mm] i^n [/mm] $
Hier weiss ich gar nicht, wie man es beschreiben soll. Denn die Werte von $ [mm] i^n [/mm] $ sind ja immer nur i, -i, -1, 1. Heißt es dann, dass diese Reihe divergiert.
(5) $ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] $ ($ [mm] 2^n [/mm] $ )/ n!
Ich weiss, dass es die Exponentialreihe ist und glaube, dass diese divergiert. Es ist mir aber nicht so klar wieso und ob ich es überhaupt richtig verstehe...
(6) $ [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} [/mm] $ ($ [mm] (-1)^n [/mm] $)/(log n)
Na ja, hier weiss ich dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log [/mm] n = [mm] \infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/(log n) = 0. Kann ich dann mit dem Leibniz-Kriterium folgern, dass diese Reihe konvergiert?
Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob meine Überlegungen richtig sind? Und wenn nicht, wie kann ich jeweils die Konvergenz bzw. Divergenz zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 02:01 Mo 05.09.2005 | | Autor: | sara_20 |
1:
Cauchy zeigt dass es divergiert.
3:
welchen Kriterij hast du da benutzt?
4:
richtig!
5:
stelle dir das so vor: exponentenfunktion steigen schneller als faktoriel, also geht es in die unendlichkeit. Divergiert
6:
Leibniz:zeige dass 1/log n monoton absteigend zur 0 geht, was trivial ist. Also, konvergiert
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Mo 05.09.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
zu 1):
Dass Du eine Nullfolge hast, reicht nicht! Falls die Reihe konvergiert, bilden die Summanden eine Nullfolge, die Rückrichtung gilt jedoch nicht!
Die Reihe divergiert - Du kannst Dich evtl auch an dem Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe festhalten!?
zu 2):
Bringe die Summanden auf einen gemeinsamen Nenner! Sollte konvergieren. Wegen der Frage mit der Nullfolge: siehe 1)
zu 3):
Deine Schlussfolgerung hinkt... nur weil die harmonische Reihe divergiert, muss diese Reihe nicht auch automatisch divergieren. Außerdem ist ein Rechenfehler drin:
Die Summanden werden umgeformt zu
[mm] \bruch{n+3}{n^{2}-3} [/mm] nach Kürzen mit n - woher hast Du den Faktor [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
zu 4):
ist richtig
zu 5):
Wie Du schon richtig schreibst, steckt die Exponentialreihe dahinter. Es gilt ja
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
deswegen kommt bei Deiner Reihe [mm] e^{2} [/mm] raus, insbesondere konvergiert sie. Außerdem stimmt es auch nicht, dass [mm] 2^{n} [/mm] schneller wächst als n!. Das stimmt nur für ganz kleine n, dass n! kleiner ist. Da hat sich sara_20 vertan! Denn wenn Du (für große n) n um eins erhöhst, multiplizierst Du ja mit diesem n bei der Fakultät, während Du bei [mm] 2^{n} [/mm] nur mit 2 multiplizierst.
zu 6):
genau richtig!
LG djmatey
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Danke für die ausführlichen Antworten!
Ich hätte da aber noch zwei Fragen:
zu (2): Wenn ich es auf den gemeinsamen Nenner bringe, erhalte ich am Schluß -2/($ [mm] n^2 [/mm] $ -1). Wie kann ich dann daraus folgern, dass diese Reihe konvergiert?
zu (3): Hier habe ich mich verrechnet. Ich meinte, wenn ich 1/n ausklammere, dann kriege ich doch: (1/n)*((n+3)/(n-3)). Kann ich dann jetzt sagen, dass die Reihe divergiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo matrimatikus!
> zu (2): Wenn ich es auf den gemeinsamen Nenner bringe,
> erhalte ich am Schluß -2/([mm] n^2[/mm] -1). Wie kann ich dann
> daraus folgern, dass diese Reihe konvergiert?
Verwende doch das Majorantenkriterium, indem Du gegen [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$ [/mm] abschätzt.
> zu (3): Hier habe ich mich verrechnet. Ich meinte, wenn ich
> 1/n ausklammere, dann kriege ich doch: (1/n)*((n+3)/(n-3)).
> Kann ich dann jetzt sagen, dass die Reihe divergiert?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier erhalte ich nach ausklammern und kürzen:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+3}{n^{\red{2}}-3}$
[/mm]
Führe nun mal eine Partialbruchzerlegung [mm] $\bruch{n+3}{n^2-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n+\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{n-\wurzel{3}}$ [/mm] durch und schätze anschließend gegen die harmonische Reihe ab.
Gruß
Loddar
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Danke für die schnelle Antwort, Loddar!
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