Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Roccoco,
> Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
>
> [mm]1.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}[/mm]
>
> [mm]2.)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2}[/mm]
>
> [mm]3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
Pass mit dem Laufindex auf! Der ist doch n und nicht i!
>
> Hallo!
> Ich habe mich mal an den Aufgaben versucht und bin mir
> nicht sicher, ob ich das so richtig gemacht habe:
> Also bei 1.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}[/mm] habe
> ich einfach das Majorantenkriterium für Reihen verwendet,
> denn
>
> [mm]\bruch{1}{n^2+3}<\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^q}[/mm] ist nach der
> Vorlesung eine konvergente Reihe für q>1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei 2.) habe ich das Quotientenkriterium benutzt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{((n+1)!)^2*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^2} \right|[/mm]
Nach dem, was in der Reihe steht, stimmt dieser Ausdruck nicht.
Steht da nun [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)^{\red{2}}}[/mm] oder [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)\red{!}}[/mm] ??
>
> = ... = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2(2n+1))} \right|[/mm] im zweiten Falle ...
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{n+1}{(2n+1)} \right|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{1+\bruch{1}{n}}{(2+\bruch{1}{n})} \right|[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] < 1
Also ...
>
> Bei der [mm]3.)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{\sqrt n}{n+1}wollte[/mm]
> ich mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren.
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt n*\sqrt n}{(n+1)*\sqrt n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*\sqrt n+\sqrt n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\sqrt n+\bruch{\sqrt n}{n}}[/mm]
> = 0
>
> Also [mm]a_n[/mm] ist schonmal ein Nullfolge.
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie monoton fallend ist.
> Also [mm]n_1a_n_2[/mm]
> Wähle [mm]n_1=[/mm] n und
> [mm]n_2=n+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\sqrt n}{n+1}>\bruch{\sqrt {n+1}}{n+2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{n}{(n+1)^2}>\bruch{n+1}{(n+2)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n(n^2+4n+4)>(n+1)(n^2+2n+1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ...\Rightarrow n^2+n>1[/mm]
Du solltest aber Äquivalenzumformungen machen, schließlich gehst du von dem aus, was zu zeigen ist ...
> und das stimmt denn n
> [mm]\in\IN.[/mm] Also stimmt die ganze Gleichung und [mm]a_n[/mm] ist eine
> monoton fallende Nullfolge und deswegen konvergiert die
> Reihe nach Leibniz.
> Kann ich so zeigen, dass eine Folge monoton fallend ist?
> Oder geht das noch irgendwie anders?
Nun, anstatt [mm]a_{n+1}
>
> Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte
>
> Liebe Grüße
> Roccoco
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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