Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 13.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}
[/mm]
[mm] \sumem_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+1)^n-1}{(-n)^n} [/mm] |
Hallo,
kann ich bei der ersten das Minorantenkriterium anwenden?
Ich dachte:
[mm] a_{n}=\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n-3+\bruch{1}{n}}>\bruch{1}{n}
[/mm]
also divegiert die Reihe.
Ist meine Überlegung korrekt?
Lg Melisa
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Hallo melisa,
> Ich dachte:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n-3+\bruch{1}{n}}>\bruch{1}{n}[/mm]
>
> also divegiert die Reihe.
>
> Ist meine Überlegung korrekt?
Ja, die harmonische Reihe ist hier eine divergente Minorante.
Gruß,
Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 13.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bei der zweiten Reihe habe ich das Leibnizkriterium angewendet:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n}(\bruch{n+1}{n})^{n-1} =\bruch{1}{n} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n-1} \le \bruch{1}{n}(1+\bruch{1}{n})^n \le \bruch{1}{n}
[/mm]
ALso ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0
[/mm]
Außerdem ist [mm] a_{n}\ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n} \ge \bruch{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}
[/mm]
reicht das aus, um zu sagen das die reihe monoton fallend ist?
Lg Melisa
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Hallo!
> bei der zweiten Reihe habe ich das Leibnizkriterium
> angewendet:
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}(\bruch{n+1}{n})^{n-1} =\bruch{1}{n}[/mm] (1+
> [mm]\bruch{1}{n})^{n-1} \le \bruch{1}{n}(1+\bruch{1}{n})^n \le \bruch{1}{n}[/mm]
Deine Ausgangsreihe lautete also:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}.
[/mm]
Das war im ersten Post falsch aufgeschrieben.
Zu deinen Abschätzungen: Die funkionieren leider nicht.
Beide Ungleichungen, die du hinschreibst, sind falsch.
(setze einfach mal n = 2 und n =3 ein, dann siehst du's!)
Bei der letzten Ungleichung kannst du es aber auch ohne Einsetzen sehen: Der Potenzterm ist doch immer größer als 1, und du schätzt ihn nach oben mit 1 ab (!).
> ALso ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
Das stimmt, aber du musst es anders zeigen:
[mm] $\frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}*\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$.
[/mm]
Der rechte Faktor konvergiert gegen e, der linke gegen 0.
Insgesamt konvergiert's also gegen 0.
> Außerdem ist [mm]a_{n}\ge a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n} \ge \bruch{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm]
>
> reicht das aus, um zu sagen das die reihe monoton fallend
> ist?
Nein. Bis jetzt hast du nur hingeschrieben, was du zeigen musst.
Zeige es so:
Da [mm] a_{n} [/mm] positiv ist, reicht es zu zeigen, dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < 1$.
Benutze während der Vereinfachung des Terms folgende Umformungen:
- [mm] $n^{n}*(n+2)^{n} [/mm] = [mm] (n^{2}+2n)^{n} [/mm] = [mm] ((n+1)^{2}-1)^{n}$
[/mm]
und
- $ [mm] (n+1)^{2n} [/mm] = [mm] ((n+1)^{2})^{n}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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