Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{x-3}^{k}, x\not=3 [/mm] alle x aus [mm] \IR, [/mm] für die die Reihe konvergiert und berechnen Sie den Wert der Reihe. |
Ich beginne nun am Anfang meiner Ana Vorlesung und bin soeben bei Reihen und Folgen.
Leider habe ich mit dieser Thematik massive Probleme, da vieles aus der Vorl. nicht mehr so klar ist....
Zu der Aufgabe: Ich würde sagen, die Aufgabe ist eine unendliche geometrische Reihe.
Aber wie sehe ich an der Aufgabenstellung, welches Kriterium ich verwenden muss bzw. wie ich hier rechnen kann.
BEsten Dank.
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Hallo,
ich gehe davon aus, dass sich das "hoch k" auf den ganzen Bruch bezieht, dann hast du eine geometrische Reihe vorliegen.
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^k [/mm] konvergiert für $|q|<1$ mit dem Wert [mm] \frac{1}{1-q}. [/mm] Was ist $q$ in deinem speziellen Beispiel?
Gruß Patrick
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Nein. Dieses "hoch k" bezieht sich nur auf den Nenner.
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Dann führe folgende Umformung durch
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x+3)^k}{x-3}=\frac{1}{x-3}\summe_{k=0}^{\infty} (x+3)^{k}
[/mm]
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Habe ich gemacht. Dann habe ich die Aufgabe verstanden. Danke
Ich setze einfach in die Formel ein....
Nur noch eine Frage zu |q| < 1. Ich habe als q = [mm] \bruch{1}{x-3}. [/mm] Dann nehme ich [mm] \bruch{1}|{x-3}| [/mm] < 1 und folgere daraus, dass 1< |x-3| sein muss. Allerdings fehlt mir jetzt das Wissen, wie ich den Betrag auflöse bzw. welche Werte x annehmen kann...
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