Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 16.02.2009 | | Autor: | tip_toe |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen konvergieren/konvergieren absolut?
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k² + 2k + 7}{(k + 1)^{3}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^3} [/mm] |
Hi Leute!
Ich hab irgendwie ein Brett vorm Kopp. Wie rechne ich das?
Habe die Folgen der Reihen angeschaut, sind Nullfolgen.
Ich habe bei beiden versucht das Quotientenkriterium anzuwenden, da kam bei beiden 1 raus, was bedeutet dass ich keine Ausage treffen kann. (Oder?)
Bei der 2. Reihe handelt es sich ja um eine harmonische Reihe, und diese konvergiert ja wenn der Exponent größer als 1 ist. Nur wie zeig ich das?
Vielen Dank für jegliche Hilfe =)
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welche der folgenden Reihen konvergieren/konvergieren
> absolut?
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> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k² + 2k + 7}{(k + 1)^{3}}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^3}[/mm]
> Hi Leute!
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> Ich hab irgendwie ein Brett vorm Kopp. Wie rechne ich das?
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> Habe die Folgen der Reihen angeschaut, sind Nullfolgen.
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> Ich habe bei beiden versucht das Quotientenkriterium
> anzuwenden, da kam bei beiden 1 raus, was bedeutet dass ich
> keine Ausage treffen kann. (Oder?)
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> Bei der 2. Reihe handelt es sich ja um eine harmonische
> Reihe, und diese konvergiert ja wenn der Exponent größer
> als 1 ist. Nur wie zeig ich das?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sicher habt Ihr in der Vorlesung die Konvergenz [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] gezeigt.
Die kannst Du als Majorante nehmen.
Bei der 1) mag es helfen, wenn Du Dir die reihe so aufschreibst:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k² + 2k + 7}{(k + 1)^{3}}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)^2 + 6}{(k + 1)^{3}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 16.02.2009 | | Autor: | tip_toe |
erstmal danke für die superschnelle Antwort :)
also schreib ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k² + 2k + 7}{(k + 1)^{3}} [/mm] als [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k+1)^2}{(k+1)^3} [/mm] + [mm] \bruch{6}{(k+1)^3}
[/mm]
aus [mm] \bruch{(k+1)^2}{(k+1)^3} [/mm] ergibt sich also [mm] \bruch{1}{k+1}, [/mm] es ergibt sich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] = 1
(warum ist das nochmal gleich 1?)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{6}{(k+1)^3} [/mm] konvergiert nach majorantenkriterium wie in aufgabe b, oder?
kann ich das alternativ auch mit dem monotoniekriterium zeigen?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mo 16.02.2009 | | Autor: | tip_toe |
Hallo Loddar!
Na klar, das ist ja ne harmonische Reihe *an kopf schlag*
D.h. im Klartext habe ich die Reihe aufgeteilt: (kann man das so sagen? :))
- in eine harmonische Reihe, diese divergiert
- in [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{6}{(k+1)^3} [/mm] welche konvergiert.
-> die summe aus beiden divergiert
Das Monotoniekriterium sagt (soviel ich weis) aus dass jede beschränkte monotone Folge konvergent ist.
Ach da steht ja Folge... dann vergiß meine letzte Frage einfach wieder :)
Vielen Dank für eure Hilfe, hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die harmonische reihe divergiert doch!!
