Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Ich habe versucht, die folgenden Reihen auf Konvergenz zu untersuchen, bin aber bei einigen an meine Grenzen gestoßen...Kann mir jemand helfen ? Danke ! :)
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n+2}{3n+1})²
[/mm]
Ich habe das Quotientenkriterium versucht anzuwenden, ohne Erfolg.
Wie kann man bei solchen Quotienten mit Polynomen von hohem Grad vorgehen ?
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}}
[/mm]
Nach dem Leibniz-Kriterium muss die Folge konvergent sein,da
[mm] 1/{\Wurzel{n}} [/mm] > 0 für alle n und streng monoton fällt.
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n²})
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n}) [/mm] - ....
Weil die harmonische Reihe divergiert, muss dies auch für die gesamte Reihe gelten.
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{5n-1})
[/mm]
> (1/5)* [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n})
[/mm]
Nach dem Minorantenkriterium muss die Folge divergent sein.
e) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{2n^4+17}{3n^4+n})^n
[/mm]
Dasselbe Problem, wie bei a)
Wenn jemand andere Lösungsansätze hat,wär das auch toll !
Gruß Fry
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a) Hier kannst du ein einfaches Divergenzkriterium anwenden: eine Reihe divergiert, wenn die zugehörige Folge keine Nullfolge ist.
Hier gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+2}{3n+1})²=\bruch{1}{9}\not=0[/mm]
b) Richtig, Leibniz hilft uns hier.
c) Auch richtig, das [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] (natürlich die Summe gemeint) kann soviel konvergieren wie's will, wenn die harmonische Reihe divergiert.
d) Richtige Minorante, richtig argumentiert.
e) Tja, so ganz dasselbe Problem wie in a) ist's hier nicht (wegen dem "hoch n").
Die Folge in der Klammer konvergiert ja gegen [mm]\bruch{2}{3}[/mm], aber wegen dem "hoch n" hab ich jetzt grad keine zündende Idee...
Dass die Folge selber eine Nullfolge ist, ist klar.
Moment, ich glaub, ich hab's: Wurzelkriterium!
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(\bruch{2n^4+17}{3n^4+n})^n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^4+17}{3n^4+n}=\bruch{2}{3}<1[/mm]
Somit konvergiert die Reihe.
Jetzt darf noch jemand mit 6 Sternen korrekturlesen, aber es müsste jetzt alles stimmen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo E.Kandrai!
> Jetzt darf noch jemand mit 6 Sternen korrekturlesen, aber
> es müsste jetzt alles stimmen
Ich habe zwar nur 5 Sterne, aber ich denke mal, ich kann das trotzdem.
> a) Hier kannst du ein einfaches Divergenzkriterium
> anwenden: eine Reihe divergiert, wenn die zugehörige Folge
> keine Nullfolge ist.
> Hier gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+2}{3n+1})²=\bruch{1}{9}\not=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Richtig, Leibniz hilft uns hier.
> c) Auch richtig, das [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] (natürlich die Summe
> gemeint) kann soviel konvergieren wie's will, wenn die
> harmonische Reihe divergiert.
Das geht hier aber nur, weil die Summanden nichtnegativ sind und die Reihe auch absolut konvergiert. Dann müsste auch jede Umordnung konvergieren. Tut sie aber nicht, daher war die Reihe nicht konvergent... Da das hier aber der Fall ist (also die absolute Konvergenz), ist alles in Ordnung, die Divergenz wurde korrekt gezeigt:
> d) Richtige Minorante, richtig argumentiert.
> e) Tja, so ganz dasselbe Problem wie in a) ist's hier nicht
> (wegen dem "hoch n").
> Die Folge in der Klammer konvergiert ja gegen
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm], aber wegen dem "hoch n" hab ich jetzt grad
> keine zündende Idee...
> Dass die Folge selber eine Nullfolge ist, ist klar.
> Moment, ich glaub, ich hab's: Wurzelkriterium!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(\bruch{2n^4+17}{3n^4+n})^n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^4+17}{3n^4+n}=\bruch{2}{3}<1[/mm]
> Somit konvergiert die Reihe.
Viele Grüße
Julius
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