Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 09.12.2004 | | Autor: | maik2004 |
Hallo liebe Matheraumer.
Ich habe folgendes Problem.
Ich soll die 2 folgenden Reihen jeweils auf ihre Konvergenz prüfen und irgendwie hab ich keine Ahnung wie ich da rangehen soll.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{ \wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2^n}
[/mm]
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
mfg
maik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Do 09.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo Maik!
> Ich habe folgendes Problem.
> Ich soll die 2 folgenden Reihen jeweils auf ihre
> Konvergenz prüfen und irgendwie hab ich keine Ahnung wie
> ich da rangehen soll.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{ \wurzel{n}}
[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2^n}
[/mm]
>
Bei der ersten unendl. Summe handelt es sich um eine alternierende Reihe.
Für diese Reihen gibt es das Leibnizkriterium, welches besagt, dass eine alternierende Reihe abs. konvergent ist, wenn die Folge der Beträge der Summanden eine monotone Nullfolge ist.
Das ist bei dieser offensichtlich der Fall (den Nachweis überlass ich erstmal dir)
Zu der zweiten fällt mir spontan das sog. Wurzelkriterium ein:
[mm] \wurzel[n]{n/2^n}= \wurzel[n]{n}/2 \to [/mm] 1/2 , somit ist der Wurzelausdruck für fast alle n kleiner ein [mm] \delta [/mm] <1 und deine Reihe ist absolut konvergent.
Wenn du zu meiner Antwort fragen hast, dann melde dich bitte.
Herzliche Grüße,
Nilez
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 09.12.2004 | | Autor: | maik2004 |
Hallo Nilez
Erstmal danke für deine Hilfe.
Also die 2te habe ich mittlerweile auch rausbekommen.
Bei der 1ten hat mir auch ein Freund den Tip mit dem Leibnitzkriterium gegeben, aber irgendwie bekomm ich den Nachweis das [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}} [/mm] eine Nullfolge is nicht hin.
Ich glaube es liegt an meiner Matheunfähigkeit :(
mfg Maik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 09.12.2004 | | Autor: | maik2004 |
so problem gelöst.
habs doch noch gebacken bekommen.
vielen dank für die hilfe
mfg maik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo maik2004!
> so problem gelöst.
> habs doch noch gebacken bekommen.
Ist ja auch nicht so schwer: Man gibt sich ein (beliebiges, aber festes) [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und zeigt, dass ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] existiert, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$:
[mm] $\begin{vmatrix}\frac{1}{\wurzel{n}}-0\end{vmatrix} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt. Wenn du magst, kannst du uns ja noch sagen, welches [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] du gefunden hast? Oder hast du die Aufgabe anders gelöst?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo Maik!
>
> > Ich habe folgendes Problem.
> > Ich soll die 2 folgenden Reihen jeweils auf ihre
> > Konvergenz prüfen und irgendwie hab ich keine Ahnung wie
>
> > ich da rangehen soll.
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{ \wurzel{n}}
[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n}{2^n}
[/mm]
> >
>
> Bei der ersten unendl. Summe handelt es sich um eine
> alternierende Reihe.
> Für diese Reihen gibt es das Leibnizkriterium, welches
> besagt, dass eine alternierende Reihe abs. konvergent ist,
> wenn die Folge der Beträge der Summanden eine monotone
> Nullfolge ist.
Das stimmt so nicht. Das Leibnizkriterium besagt nur, dass diese Reihe dann konvergiert; aber nicht absolut.
Beispiel:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left((-1)^k*\frac{1}{k}\right)$ [/mm] ist (nach dem Leibnizukriterium) konvergent, aber nicht absolut konvergent, da [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] divergiert. Aber die Aufgabe verlangt ja auch nicht die Untersuchung der Reihen auf absolute Konvergenz, sondern nur die Untersuchung auf Konvergenz. 
Viele Grüße,
Marcel
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