Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Sei [mm] p:\IN \to\IN [/mm] bijektiv und es gelte mit einer Zahl [mm] K\in \IN:
[/mm]
[mm] \forall n\in \IN [/mm] |p(n)-n| [mm] \le [/mm] K.
Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Beweise die Antwort.
Konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] , so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{p(n)} [/mm] gegen den gleichen Grenzwert. |
Hallo Leute,
ich hab hierbei das übliche Problem des Ansatzes.
Rein intuitiv würde ich sagen, dass die Aussage richtig ist. Zumindest ist das ja bei den Folgen so, dass die Teilfolge einer Folge gegen den selben GW konvergiert wie die Folge. Ich geh mal davon aus, dass dies auf die Reihen übertragbar ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 24.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Auf grund der Bedingung und der Dreiecksungleichung gilt für alle N
[mm] |\summe_{n=1}^{N} a_{n}|- \summe_{n=N-K+1}^{N} |a_{n}| \le |\summe_{n=1}^{N} a_{p(n)}| \le |\summe_{n=1}^{N} a_{n}|+ \summe_{n=N+1}^{N+K} |a_{n}|
[/mm]
[mm]|\summe_{n=1}^{N} a_{n}| - K*min_{n=N-K+1,...N} (|a_{n}|) \le |\summe_{n=1}^{N} a_{p(n)}| \le |\summe_{n=1}^{N} a_{n}| < + K*max_{n=N+1,...N+K} (|a_{n}|)[/mm]
da die Reihe konvergiert müssen die [mm] a_{n} [/mm] und daher auch die [mm] |a_{n}| [/mm] eine Nullfolge bilden.
Daher Minorante und Majorante gefunden, daher konvergenz....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 24.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey wauwau danke, aber könntest du mir nochmal in Worten erklären was du da genau gemacht hast?
Und sehe ich das richtig, dass das
[mm] |\summe_{n=1}^{N} a_{n}| [/mm] - [mm] K*min_{n=N-K+1,...N} (|a_{n}|) [/mm] die Minorante ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
da die Umordnung p(n) sich in maximal + oder - K indizes abspielt
kann man eben die summe der ersten N Glieder wie angegeben nach oben oder unten abschätzen
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