Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 So 04.02.2007 | | Autor: | citaro |
| Aufgabe | Konvergieren folgende Reihen?
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k}{k+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=3}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}} [/mm] |
Hallo,
ich habe mal zwei Fragen zu folgenden Aufgaben
a) Ich dachte mir, ich nehme das Quotientenkritierum:
Dann erhalte ich [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{k+1}{k+2}}{\bruch{k}{k+1}} [/mm] =
[mm] \bruch{k²+2k+1}{k²+2k}
[/mm]
Dies ist offensichtlich immer > 1
Kann ich jetzt sagen, da [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] > 1 ist, ist die Reihe divergent oder geht das nicht?
b) Hier bietet sich ja die geometrische Reihe an. Problem: Meines Wissens nach muss die geometrische Reihe bei 0 oder 1 beginnen.
Kann ich also folgendes tun:
[mm] \summe_{i=3}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{i=3}^{\infty} {(\bruch{1}{3})^{k}} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{\infty} {(\bruch{1}{3})^{k}} [/mm] )- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] =(*) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{18} [/mm] ???
Bei (*) würde ich die Formel für die geometr. Reihe anwenden. Geht so etwas oder kann man das nicht machen?
Danke für die Hilfe und viele Grüße
citaro
P.S.: Ich habe die Frage in noch keinem anderen Forum gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 04.02.2007 | | Autor: | citaro |
Hallo carsten,
danke für deine Antwort.
> > a) Ich dachte mir, ich nehme das Quotientenkritierum:
> >
> > Dann erhalte ich [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{\bruch{k+1}{k+2}}{\bruch{k}{k+1}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{k²+2k+1}{k²+2k}[/mm]
> > Dies ist offensichtlich immer > 1
> > Kann ich jetzt sagen, da [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}[/mm] > 1
> ist,
> > ist die Reihe divergent oder geht das nicht?
>
> Schon, aber du hast das Quotientenkriterium anders
> aufgeschrieben als du's ausgerechnet hast ... 
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le q < 1[/mm], bzw. du hast gezeigt,
> dass [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \ge 1[/mm]
Das war mir bewusst. Was ich mich bloß gefragt habe:
Sagt das Quotientenkriterium nur aus, dass eine Reihe konvergent ist, wenn [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] q < 1 gilt, oder kann ich damit auch beweisen, dass eine Reihe divergiert, wenn [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \ge [/mm] 1 gilt?
Ich habe inzwischen nochmal in meinen Aufzeichnungen geblättert und denke inzwischen, dass es geht und mein Ansatz mit dem Quotientenkriterium richtig war, oder?
Nochmals danke und viele Grüße
citaro
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Hallo
also das Quotientenkriterium besagt folgendes:
Existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{{a_n}}\right| [/mm] und ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=q [/mm] (q eine FESTE Zahl), so gilt:
(1) Ist q<1, so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] absolut
(2) Ist q>1, so divergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n
[/mm]
(3) Für q=1 musst du die Kovergenz Reihe "manuell" untersuchen (abschätzen o.ä.), da das QK hierfür keine Aussage hergibt.
Ich glaube, deine zweite Reihe war [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Hier greift das QK nicht, denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{{a_n}}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n+1}{n+2}\bruch{n+1}{n}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2})}{n^2(1+\bruch{2}{n})}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{2}{n}}=1
[/mm]
Und da greift die Aussage des QK nicht ;(
Versuche, die Reihe anders anzugehen. Was ist zB ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe und ist es bei dieser Reihe erfüllt?
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo nochmal!
M.W.n. ist
[mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \ge 1[/mm]
als Teil des Quotientenkriteriums hinreichend, um die Divergenz einer Reihe zu zeigen. (Wenn es ein [mm] n_0 [/mm] gibt, so dass für alle n > [mm] n_0 [/mm] diese Ungleichung gilt.)
So kenn ich das zumindest (aus wikipedia und div. anderen Quellen ...)
Natürlich kann man die Divergenz auch anders zeigen ...
Viele Grüße,
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo smee!
Die Divergenz folgt aber "nur" aus dem strengen [mm] $\red{>} [/mm] \ 1$ . Für $= \ 1$ ist keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz möglich.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 04.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo citaro,
mit dem Wissen, dass diese Reihe konvergiert, kannst Du natürlich so vorgehen. Ein anderer Weg wäre die Nutzung des Wurzelkriteriums, das Dir hier auch einen Wert kleiner 1 liefert und damit den Hinweis, dass diese Reihe konvergiert.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo
nein, die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n+1} [/mm] konvergiert sicher nicht, denn die [mm] a_n [/mm] bilden keine Nullfolge.
Alternativ kann man eine divergente Minorante angeben, nämlich
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n+1}\ge\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+1}\ge\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] .
Die harmonische Reihe ist also eine divergente Minorante zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:07 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
Der Beitrag von Infinit bezog sich m.W. auf die 2. Reihe ... (steht in der Überschrift)
"mit dem Wissen, dass diese [die geometrische] Reihe konvergiert, kannst Du natürlich so vorgehen ..."
Gruß,
Carsten
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