Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{\bruch{3}{2}}*e^{-n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n-50}{n^{\bruch{3}{2}}+50}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n-2} + 1}{2n} x^{n} [/mm] |
Hab doch nochmal eine Frage, mit welchem Kriterium ich bei den 3 Aufgaben hier oben rangehen könnte??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
Hier mal meine ersten Verdachtsmomente  ...
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^{\bruch{3}{2}}*e^{-n}[/mm]
Der Term mit $n_$ im Exponenten deutet auf das Wurzelkriterium hin.
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n-50}{n^{\bruch{3}{2}}+50}[/mm]
Da es sich wegen des [mm] $(-1)^n$ [/mm] um eine alternierende Reihe handelt, sollte man es zunächst it dem Leibniz-Kriterium versuchen.
Du musst also zeigen, dass es sich bei [mm] $\bruch{n-50}{n^{\bruch{3}{2}}+50}$ [/mm] um eine monoton fallende Nullfolge handelt.
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n-2} + 1}{2n} x^{n}[/mm]
Hier musst Du für diese Potenzreihe wohl den Konvergenzradius bestimmen ...
Gruß
Loddar
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wie mach ich das bei [mm] \bruch{n-50}{n^{\bruch{3}{2}}+50} [/mm] zeigen, dass es sich um eine monoton fallende Nullfolge handelt?
Krieg hier voll die Krise, hab nix gescheites in unseren Aufzeichnung zu soetwas stehen.....
und wie läuft das mit dem Konvergenzradius bei c?
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Hallo!
Sind dir die Limessätze ein Begriff?
Mit diesen lässt sich prima zeigen, ob es sich um eine Nullfolge handelt..
Grüsse Keepcool
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Wie mach ich das denn?
Also bei a) hab ich nun mit Quotientenkriterium folgendes:
[mm] a_{n}=n^{\bruch{3}{2}}*e^{-n}=\bruch{n^{\bruch{3}{2}}}{e^{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{\bruch{3}{2}}}{n^{\bruch{3}{2}}}*\bruch{1}{e}
[/mm]
Also folgt nun, dadurch das die n's gegen [mm] \infty [/mm] geht, dass [mm] \bruch{1}{e}<1 [/mm] ist und die Reihe damit konvergent
_______________________________
bei b) hab ich es auch mit dem Quotientenkriterium probiert und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -1*\bruch{n^{\bruch{3}{2}}+50}{(n+1)^{\bruch{3}{2}}+50}* \bruch{n-49}{n-50}
[/mm]
aber da komm ich nicht weiter???
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Hallo useratmathe,
> Wie mach ich das denn?
> Also bei a) hab ich nun mit Quotientenkriterium
> folgendes:
>
> [mm]a_{n}=n^{\bruch{3}{2}}*e^{-n}=\bruch{n^{\bruch{3}{2}}}{e^{n}}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{\bruch{3}{2}}}{n^{\bruch{3}{2}}}*\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Also folgt nun, dadurch das die n's gegen [mm]\infty[/mm] geht, dass
> [mm]\bruch{1}{e}<1[/mm] ist und die Reihe damit konvergent
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei b) hab ich es auch mit dem Quotientenkriterium
> probiert und bin auf folgendes gekommen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -1*\bruch{n^{\bruch{3}{2}}+50}{(n+1)^{\bruch{3}{2}}+50}* \bruch{n-49}{n-50}[/mm]
>
> aber da komm ich nicht weiter???
Da kommt 1 raus zumindest wenn man wie üblich die Beträge nimmt D.h. keine Aussage mit dem Quotientenkriterium möglich. Hier solltest Du Dich vllt. nochmals mit dem Leibnitzkriterium befassen.
[mm] a_{n+1}
[mm] \limes_{n \to \infty} a_n=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^n*a_n [/mm] konvergiert.
viele Grüße
mathemaduenn
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Also wenn die Bedingung [mm] a_{n+1}
Also müsste ich "nur" [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] bilden und gucken ob dies größer ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
Genauso funktioniert das Leibniz-Kriterium !
Gruß
Loddar
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Also müsst ich doch praktisch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n-50}{n^{3/2}+50} [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n-49}{(n+1)^{3/2}+50} [/mm] vergleichen und bei [mm] a_{n} [/mm] sollte 0 rauskommen, was offensichtlich der Fall ist, aber bei [mm] a_{n+1} [/mm] hab ich auch 0 raus??
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Hallo useratmathe,
O.K. Nullfolge hast Du jetzt.
Du solltest noch [mm] a_n [/mm] mit [mm] a_{n+1} [/mm] vergleichen nicht irgendwelche Grenzwerte. Zusätzlich wäre hier noch zu erwähnen das es egal ist was die ersten 50( oder auch 100 oder 1000...) Glieder einer Folge machen. Hauptsache für die Glieder ab einem bestimmten sind die Bedingungen erfüllt.
viele Grüße
mathemaduenn
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bei c) hab ich jetzt: R= [mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{2^{n}*n+2^{n}+4n+4}{2^{n+1}*n+4n} [/mm] |
wie kann ich das noch vereinfachen und was mach ich mit den Betragsstrichen?
Derive sagt mir was von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - wie komm ich darauf und was weiß ich denn da nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
> bei c) hab ich jetzt: R= [mm]|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|= \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{2^{n}*n+2^{n}+4n+4}{2^{n+1}*n+4n}[/mm] |
Da hier ausschließlich positive Terme miteinander verknüpft werden, darfst Du die Betragsstriche weglassen.
Dann klammere hier den Ausdruck [mm] $n*2^n$ [/mm] aus, kürze und führe die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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huch irgendwie steckt ich schon beim nächsten Schritt fest:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{n*2^{n}*(1+\bruch{1}{n}+\bruch{4}{2^{n}}+ \bruch{4}{n*2^{n}})}{n*2^{n}*(1???+\bruch{4}{2^{n}})} [/mm] |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
Fast richtig ... Da gilt: [mm] $2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2$ [/mm] , muss es heißen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{n*2^{n}*\left(1+\bruch{1}{n}+\bruch{4}{2^{n}}+ \bruch{4}{n*2^{n}}\right)}{n*2^{n}*\left(\red{2}+\bruch{4}{2^{n}}\right)}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{1+\bruch{1}{n}+\bruch{4}{2^{n}}+ \bruch{4}{n*2^{n}}}{2+\bruch{4}{2^{n}}}\right| [/mm] \ = \ ...$
Nun die Grenzwertbetrachtung ... gegen welchen Wert streben die ganzen Teilbrüche?
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie für ale x [mm] \in \IR, [/mm] ob die Potenzreihe konvergiert oder divergiert. |
Alles klar: gegen 0!
und [mm] R=\bruch{1}{2} [/mm]
und wie komm ich jetzt auf die x bei dieser Potenzreihe?
Genau Fragestellung hier oben nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
Mit dem ermittelten Konvergenzradius wissen wir nun, dass die genannte Reihe für $|x| \ < \ R \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ $\gdw$ $-\bruch{1}{2} [/mm] \ < \ x \ < \ + [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] konvergiert.
Die beiden Spezialfälle [mm] $x_1 [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] +\bruch{1}{2}$ [/mm] müssen nun noch gesondert betrachtet werden, indem diese beiden Werte jeweils in die Reihenvorschrift eingesetzt werden.
Zum Beispiel für [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{2}$ [/mm] :
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n-2} + 1}{2n}*x^{n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n-2} + 1}{2n} \left(\bruch{1}{2}\right)^{n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n-2} + 1}{2n} *\bruch{1}{2^{n}}$
[/mm]
Nun zunächst etwas zusammenfassen und diese Reihe wie gehabt auf Konvergenz untersuchen ...
Gruß
Loddar
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Also seh ich das jetzt richtig, dass ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] für [mm] \bruch{2^{n-2}+1}{n*2^{n+1}} [/mm] bilden muss?
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Hallo useratmathe,
Das Quotientenkriterium hier anzusetzen dürfte nichts bringen. Das da 1 rauskommt hast Du ja gerade berechnet. Aber man kann versuchen etwas umzuformen um das "Wesen" ans Tageslicht zu bringen.
[mm]\bruch{2^{n-2}+1}{n*2^{n+1}}=\bruch{2^{n-2}}{n*2^{n+1}}+\bruch{1}{n*2^{n+1}}[/mm]
Hier könnte das Minorantenkriterium weiterhelfen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Danke für die Hilfe!
Ach du herje, das ist ja komplexer als ich dachte...Stimmt das ich gerade 1 raushatte, hat mich gewundert, und nun hab ich bei Wikipedia nach Minorantenkriterium gesucht und fand dabei:
Sei eine unendliche Reihe
S = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm]
[mm] \hat=\bruch{2^{n-2}}{n\cdot{}2^{n+1}} [/mm] ?
mit reellen oder komplexen Summanden an gegeben.
Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe
T = [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n [/mm]
[mm] \hat=\bruch{1}{n\cdot{}2^{n+1}} [/mm] ?
Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] b_{n} [/mm] und gilt
[mm] a_n \le b_n
[/mm]
für fast alle n, dann folgt: Ist S divergent, dann ist auch T divergent.
Uff...was mach ich denn jetzt daruas?
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Hallo useratmathe,
Hier hast Du ein wenig durcheinandergewürfelt.
![[]](/images/popup.gif) link zu wikipedia
> Sei eine unendliche Reihe
>
> S = [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm]
> [mm]\hat=\bruch{2^{n-2}}{n\cdot{}2^{n+1}}[/mm] ?
Kürzen?
> mit reellen oder komplexen Summanden an gegeben.
> Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe
>
> T = [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n[/mm]
> [mm]\hat=\bruch{1}{n\cdot{}2^{n+1}}[/mm] ?
Das Minorantenkriterium geht erst hier los.
> Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden
> [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]b_{n}[/mm] und gilt
>
> [mm]a_n \le b_n[/mm]
> für fast alle n, dann folgt: Ist S divergent, dann ist auch T divergent.
Die Aussage ist einfach. Findest Du eine Reihe die divergiert und deren Reihenglieder alle positiv und kleiner als die Reihenglieder Deiner Reihe sind so divergiert auch Deine Reihe.
Ein Bsp.:
[mm]\sum_{n=0}^\infty 1+\bruch{1}{n}[/mm] divergiert offensichtlich da
[mm] 1+\bruch{1}{n}>1 [/mm] und [mm]\sum_{n=0}^\infty 1[/mm] divergiert.
viele Grüße
mathemaduenn
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