Konvergenz von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(x-1)^{5k} [/mm] konvergent? |
Hallo,
hier mein Ansatz:
Entwicklungspunkt ist [mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{2^{k}}{k^{2}}
[/mm]
Konvergenzradius: [mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k}*(k+1)^{2}}{k^{2}*2^{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{2}+2k+1}{k^{2}*2}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^{2}}}{2}|=0.5
[/mm]
r=0.5
[mm] x_{0}-r=1-0.5=0.5
[/mm]
[mm] x_{0}+r=1+0.5=1.5 [/mm] --> I=(0.5 , 1.5)
Randpunkte überprüfen:
Mit x=0.5:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5-1)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(-0.5)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k}
[/mm]
Ich komme hier nicht weiter :(
Danke vorab.
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Moin monstre,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(x-1)^{5k}[/mm]
> konvergent?
> Hallo,
>
> hier mein Ansatz:
>
> Entwicklungspunkt ist [mm]x_{0}=1[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{2^{k}}{k^{2}}[/mm]
>
> Konvergenzradius:
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k}*(k+1)^{2}}{k^{2}*2^{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{2}+2k+1}{k^{2}*2}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^{2}}}{2}|=0.5[/mm]
>
> r=0.5
>
> [mm]x_{0}-r=1-0.5=0.5[/mm]
> [mm]x_{0}+r=1+0.5=1.5[/mm] --> I=(0.5 , 1.5)
>
> Randpunkte überprüfen:
>
> Mit x=0.5:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5-1)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(-0.5)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k}[/mm]
Du kannst hier noch das [mm] 2^k [/mm] kürzen, weiterhin gilt [mm] (-1)^k=(-1)^{5k}:
[/mm]
[mm] \qquad $\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k}=\bruch{(0.5)^{4k}}{k^{2}}*(-1)^{k}$
[/mm]
Nun Leibnizkriterium. Oder, wenn du den Fall x=1,5 gleich mit erschlagen willst, wieder den Quotienten bilden (mit Betrag).
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> Ich komme hier nicht weiter :(
>
> Danke vorab.
LG
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