Konvergenz von Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
bei folgender Aufgabe weiß ich leider nicht weiter:
Zeigen Sie zunächst die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{h_n}{2^n} [/mm] mit [mm] h_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] und beweisen Sie daraufhin die Gleichung
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*2^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{h_n}{2^n}
[/mm]
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich bei dieser Aufgabe am besten vorgehe. Läuft das ganze auf einen Induktionsbeweis hinaus?
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo Commotus!
Die Konvergenz von [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch {h_n}{2^n}$ [/mm] zeigt man am besten mit dem Quotientenkriterium:
[mm] $\bruch {\bruch{h_{n+1}}{2^{n+1}}}{\bruch {h_n}{2^n}}=\bruch{h_{n+1}}{h_n}*\bruch [/mm] 12$.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] $\bruch{h_{n+1}}{h_n}\to [/mm] 1$. Das geht eigentlich ganz einfach, wenn man bedenkt, dass [mm] $h_{n+1}=h_n+\bruch [/mm] 1{n+1}$.
Um jetzt deine Gleichung zu zeigen, solltest du mit [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch {h_n}{2^n}=\summe_{n=0}^\infty \bruch{h_{n+1}}{2^{n+1}}$ [/mm] anfangen und wieder verwenden, dass [mm] $h_{n+1}=h_n+\bruch [/mm] 1{n+1}$ ist. Durch geschicktest Umformen erhältst du dann die gesuchte Gleichung.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Okay, vielen Dank für die Tipps. Habe nun den Beweis erbracht!
|
|
|
|
