Konvergenz von Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm]n \in\IN[/mm] sei [mm]f_n : \left(0,\infty \right) \rightarrow \IR[/mm] definiert durch
[mm]f_n\left(x \right) := \bruch{1}{1+x^n}[/mm]
Zeigen Sie: Die Folge [mm]\left(f_n \right) [/mm] konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig, gegen eine Funktion [mm]f : \left(0,\infty \right) \rightarrow \IR[/mm]. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Kriterien für die punktweise und gleichmäßige Konvergenz sind mir sowohl anschaulich als auch formal klar. Ich habe nur bisher eine solche Analyse noch nicht durchgeführt und bin mir daher nicht sicher was genau ich alles zeigen muss.
zunächst habe ich die Funktionenfolge betrachtet und mir überlegt, dass sie gegen die Funktion
[mm]f\left(x \right) =\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{für }x<1 \\
\bruch{1}{2}, & \mbox{für }x=1 \\
0, & \mbox{für }x>1 \\
\end{matrix}\right.[/mm]
konvergiert.
Nun habe ich für diese drei Fälle einzeln gezeigt:
Für [mm]x=1[/mm]:
[mm]\left| f_n\left(1 \right) { - } f\left(1 \right) \right| = \left| \bruch{1}{1+1^n} - \bruch{1}{2} \right| = 0 < \epsilon[/mm]
Damit ist [mm]f_n\left( x \right) [/mm] punktweise konvergent gegen [mm]f\left( x \right) [/mm] in x=1.
Für die beiden anderen Fälle habe ich nun ein [mm]n_0\left( \epsilon,x \right) [/mm] berechnet, so dass die Forderung der punktweisen Konvergenz erfüllt wird:
Für [mm]0
[mm]\begin{matrix}\left| f_n\left( x \right) { - } f\left( x \right) \right| = \left| \bruch{1}{1+x^n}-1 \right| = -\bruch{1}{1+x^n} + 1 < \epsilon \\
\gdw -1 < \left( \epsilon { - } 1 \right) *\left( 1 + x^n \right) \\
\gdw -\epsilon < x^n*\left( \epsilon { - } 1 \right) \\
\gdw ln\left( -\epsilon \right) < ln[x^n*\left( \epsilon { - } 1 \right) ] \\
\gdw \bruch{ln\left( -\bruch{\epsilon}{\epsilon { - } 1} \right) }{ln\left( x \right) } < n \end{matrix}
\Rightarrow n_0\left( \epsilon,x \right) := \left[ \bruch{ln\left( -\bruch{\epsilon}{\epsilon { - } 1} \right) }{ln\left( x \right) } \right] + 1
[/mm]
Für x>1 bin ich äquivalent auf
[mm]n_0\left( \epsilon,x \right) := \left[ \bruch{ln\left( \bruch{1}{\epsilon} - 1 \right) }{ln\left( x \right) } \right] + 1[/mm]
gekommen.
Die so gewonnen [mm]n_0\left( \epsilon,x \right)[/mm] stimmen auf jeden Fall, so dass die Forderung der punktweisen Konvergenz erfüllt ist.
Reicht dies aber schon aus, um die punktweise Konvergenz zu zeigen, oder muss ich dem Ganzen noch etwas anfügen?
Zur gleichmäßigen Konvergenz habe ich mir folgendes überlegt (aber noch nicht durchgerechnet): ich würde versuchen zu zeigen, dass sich [mm]f_n\left(x \right) := \bruch{1}{1+x^n}[/mm] als Komposition stetiger Funktionen darstellen lässt also selber stetig für alle [mm]n \in\IN[/mm] ist. Würde [mm]f_n[/mm] nun gleichmäßig konvergieren, so müsste [mm]f[/mm] auch stetig sein. Da dies nicht der Fall ist, konvergiert [mm]f_n[/mm] nicht gleichmäßig.
Liege ich mit meiner Vorgehensweise hier richtig?
Ich danke euch für jede Hilfe!!
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Danke!
Dann werde ich das so mal machen.
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