Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | | Für welche a,b,c [mm] \in\IR [/mm] ist [mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-(an^{2}+bn+c)=0 [/mm] ? |
Erstmal hoffe ich, dass ich alles richtig eingeben habe!
Meine Frage ist, wie ich überhaupt an die Aufgabe herangehen soll?
Mein Ansatz war hier zwei Folgen zu betrachten, einmal die Wurzel als eine Folge und den Rest als eine weitere Folge.
Betrachtet man diese Folgen getrennt, dann gehen ja beide gegen unendlich für a oder b ungleich Null.
Jedoch komm ich auf keine rechnerische Lösung.
Wäre nett wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Für welche a,b,c [mm]\in\IR[/mm] ist [mm]\lim_{n \to \infty}\Wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-(an^{2}+bn+c)=0[/mm]
Stellen wir erstmal fest, dass du meinst:
[mm]\lim_{n \to \infty}\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-(an^{2}+bn+c)=0[/mm]
Dann als Tipp: Verwende die dritte binomische Formel.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
Danke für die schnelle Antwort.
Erweitere ich dann den Wurzelterm mit
[mm] \wurzel{n^{4}-(n^{2}+1)} [/mm] ?
Bin mir irgendwie nicht ganz sicher wo genau ich die 3. bin Formel anwenden soll.
Ich hab's gerade ausprobiert, aber jetzt steh ich mit zwei Wurzeln da und seh keinen Weg das weiter zu vereinfachen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
Achja und du hattest recht mit der Wurzel, genau das meinte ich.
Hab noch nie irgendwie solche Formeln geschrieben deswegen komme ich noch nicht so ganz gut damit klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
Oh, ich glaube ich habe mich verklickt und nur Mitteilungen geschrieben.
Also du hattest Recht, dass die Wurzel noch in die Aufgabe gehörte.
Habe jetzt auch die ganze Zeit probiert da mit der 3.bin Forlmel ran zu gehen,aber komme dabei nicht weiter.
Ich hab den Wurzelterm mit
[mm] \wurzel{n^{4}-(n^{2}+1)}
[/mm]
erweitert und komme aber auf nichts brauchbares -.-
Ist dieser Schritt soweit richtig ? Falls ja, was soll ich dann damit anfangen?
Also bei mir sieht das dann so aus
[mm] \wurzel{\bruch{n^{8}-(n^{2}+1)^{2}}{n^{4}-(n^{2}+1)}}
[/mm]
MfG,
marmik
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Hiho,
nein, erweiter den Gesamtterm mal mit: [mm] $\wurzel{n^{4}+n^{2}+1} [/mm] + [mm] (an^{2}+bn+c)$
[/mm]
Damit eliminierst du die Wurzel, rechne dann das entstehende Quadrat aus und fasse zusammen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
Danke schonmal für die Hilfe.
Aber irgendwie komm ich mit diesem Term der da raus kommt immer noch nicht klar.
Also das sieht jetzt so aus ( wenn ich mich nicht vertan habe)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{4}+n^{2}+1-(a^{2}n^{4}+2abn^{3}+2acn^{2}+b^{2}n^{2}+2bcn+c^{2})}{(\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}+an^{2}+bn+c)}
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht genau wie ich weiter vorgehen soll.
Soll ich dann erstmal alle gleichen Potenzen von n ausklammern, dann die höchste vorkomme Potenz von n oben und unten aus dem Bruch "rausziehen" und dann gucken wie sich der Grenzwert verhält ?
Wenn ich das alles mache komme ich auf
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{n^{4}}{n^{4}}*\bruch{1-a^{2}-c^{2}}{(\wurzel{ n^{4}+n^{2}+1}+an^{2}+bn+c)n^{4}}
[/mm]
Das konvergiert doch auf jeden Fall gegen 0 egal was ich für a,(b), oder c einsetze?
MfG
Marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 So 13.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marmik!
Nein, [mm] $n^4$ [/mm] ausklammern ist hier nicht der richtige Weg. Zudem machst Du das falsch. Multipliziere hier mal wieder aus, dann müsste der Ausgangsterm entstehen.
Damit der Term gegen 0 strebt, müssen nach dem Zusammenfassen im Zähler die Terme mit [mm] $n^4$ [/mm] , [mm] $n^3$ [/mm] und [mm] $n^2$ [/mm] jeweils den Koeffizienten 0 haben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 13.01.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Loddar,
Also bis hier hin müsste ich eigentlich alles richtig gemacht haben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{4}+n^{2}+1-(a^{2}n^{4}+2abn^{3}+2acn^{2}+b^{2}n^{2}+2bcn+c^{2})}{(\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}+an^{2}+bn+c)} [/mm]
Oder?
Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe muss ich diesen Term in folgende Form bringen:
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{n^{4}(1-a^{2})-2abn^{3}+n^{2}(1-2ac-b^{2})-2bcn-c^{2}+1}{\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}+an^{2}+bn+c}
[/mm]
Das heißt ja dann, dass a=1 [mm] \wedge [/mm] b=0 [mm] \wedge [/mm] c=0,5 sein muss oder?
Ist es dann so, dass die Koeffizienten von [mm] n^{4} \wedge n^{3} \wedge n^{2} [/mm] Null sein müssen, damit der Nenner "schneller gegen unendlich geht"?
Falls diese Vermutung richtig sein sollte frag ich mich warum nicht vielleicht auch der Koeffizient von [mm] n^{2} \ne [/mm] 0 sein kann, da man im Nenner ja auch noch den Wurzelterm hat... Fragen über Fragen.
MfG
Marmik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
Hi Reverand,
Danke für deine Hilfe,
Also für denn Fall a=1 ist alles klar.
Jetzt habe ich angefangen mir den Fall a=-1 vorzunehmen, aber da bin ich mir nicht ganz sicher.
Wenn ich erstmal a=-1 einsetze sieht das so aus:
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{2bn^{3}+n^{2}(1+2c-b^{2})-2bcn-c^{2}+1}{\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+bn+c}
[/mm]
Dann habe ich mir gedacht, dass ich das [mm] n^{3} [/mm] im Zähler loswerden muss und somit b=0 ist.
Dann komm ich auf diesen Term
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{n^{2}(1+2c)-c^{2}+1}{\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+c}
[/mm]
Ich hoffe die Vorgehensweise ist soweit richtig.
Danach hab ich den Nenner mal genauer unter die Lupe genommen und habe festgestellt (durch einsetzen großer Zahlen mit Taschenrechner), dass der Nenner gegen Null geht.
Somit kann der gesamte Term ja nicht mehr gegen Null gehen oder?
Wenn meine Rechnungen soweit richtig sind müsste ich im Sinne der Aufgabe ja noch rechnerisch die Konvergenz des Nenners gegen Null zeigen...?
MfG
Marmik
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Hallo Marmik,
das meiste sieht gut aus.
> Also für denn Fall a=1 ist alles klar.
Das sehe ich auch so.
> Jetzt habe ich angefangen mir den Fall a=-1 vorzunehmen,
> aber da bin ich mir nicht ganz sicher.
>
> Wenn ich erstmal a=-1 einsetze sieht das so aus:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{2bn^{3}+n^{2}(1+2c-b^{2})-2bcn-c^{2}+1}{\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+bn+c}[/mm]
>
> Dann habe ich mir gedacht, dass ich das [mm]n^{3}[/mm] im Zähler
> loswerden muss und somit b=0 ist.
Richtig.
> Dann komm ich auf diesen Term
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{n^{2}(1+2c)-c^{2}+1}{\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+c}[/mm]
>
> Ich hoffe die Vorgehensweise ist soweit richtig.
Ja, alles ok.
> Danach hab ich den Nenner mal genauer unter die Lupe
> genommen und habe festgestellt (durch einsetzen großer
> Zahlen mit Taschenrechner), dass der Nenner gegen Null
> geht.
Das stimmt nicht. Er konvergiert gegen [mm] c+\bruch{1}{2}.
[/mm]
> Somit kann der gesamte Term ja nicht mehr gegen Null gehen
> oder?
In der Tat ist es ein Problem, wenn der Nenner gegen Null geht. Das tut er aber nur für [mm] c=-\tfrac{1}{2}, [/mm] und dafür muss man das Ganze noch einmal gesondert betrachten. Das geht aber blitzschnell; im Zähler steht dann ja [mm] \tfrac{3}{4}, [/mm] der Nenner geht gegen Null, das wird also nix.
Wenn der Nenner aber gegen [mm] c\not=0 [/mm] läuft, dann kann der ganze Bruch nur dann gegen Null gehen, wenn der Zähler das tut.
Damit das [mm] n^2 [/mm] verschwindet, muss [mm] c=-\tfrac{1}{2} [/mm] sein, und das hatten wir gerade schon erledigt. Es gibt also keinen weiteren Fall, den man untersuchen müsste.
> Wenn meine Rechnungen soweit richtig sind müsste ich im
> Sinne der Aufgabe ja noch rechnerisch die Konvergenz des
> Nenners gegen Null zeigen...?
Nein, ich glaube nicht. Wenn Du hinschreibst, dass der Grenzwert des Nenners [mm] $c+\tfrac{1}{2}$ [/mm] ist, dann reicht das wohl aus, es sei denn, Grenzwerte sind bei Euch gerade ein ganz neues Thema.
Dann ist das leicht zu zeigen mit [mm] n^4+n^2+1=\left(n^2+\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{3}{4}
[/mm]
Jedenfalls gibt es für a=-1 keine Lösung. Das zu zeigen, ist mehr Aufwand als die schon gefundene mit a=1.
Du müsstest jetzt alles haben, um den kompletten Lösungsweg aufzuschreiben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
Ich glaube das dürfte jetzt meine letzte Frage sein,
Also als ich den Grenzwert mit dem Taschenrechner "berechnet" habe, hab ich das für [mm] c=\bruch{-1}{2} [/mm] gemacht.
Betrachtet man jetzt den Fall, dass [mm] c\ne\bruch{-1}{2} [/mm] ,
Wie zeige ich dann mithilfe deines Tipps, dass [mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+c=\bruch{1}{2}+c [/mm] ist ?
Wir haben gerade erst mit Grenzwerten angefangen, deswegen ist mir das alles noch ein bisschen fremd.
MfG
Marmik
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Hallo nochmal,
> Ich glaube das dürfte jetzt meine letzte Frage sein,
Na, schaun wir mal. 
> Also als ich den Grenzwert mit dem Taschenrechner
> "berechnet" habe, hab ich das für [mm]c=\bruch{-1}{2}[/mm]
> gemacht.
Warum? Jedenfalls stimmts dann: Grenzwert Null.
> Betrachtet man jetzt den Fall, dass [mm]c\ne\bruch{-1}{2}[/mm] ,
> Wie zeige ich dann mithilfe deines Tipps, dass [mm]\lim_{n \to \infty}\wurzel{n^{4}+n^{2}+1}-n^{2}+c=\bruch{1}{2}+c[/mm]
> ist ?
>
> Wir haben gerade erst mit Grenzwerten angefangen, deswegen
> ist mir das alles noch ein bisschen fremd.
Hm. Dann wirst Du es wahrscheinlich auch zeigen müssen. Später glaubt man Dir das auch so, aber wenn es gerade Thema ist, wahrscheinlich nicht.
Der Standardweg geht wieder mit der 3. binomischen Formel. Ich lasse das c mal weg, das kannst Du direkt vor den Grenzwert ziehen, es ist ja konstant.
[mm] \lim_{n\to\infty}\wurzel{n^4+n^2+1}-n^2=\lim_{n\to\infty} \bruch{(\wurzel{n^4+n^2+1}-n^2)(\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2)}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2}=\lim_{n\to\infty}\bruch{n^2+1}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2}=\cdots
[/mm]
Jetzt noch die höchste Potenz, [mm] n^2, [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern:
[mm] \cdots=\lim_{n\to\infty}\bruch{n^2}{n^2}*\bruch{1+\bruch{1}{n^2}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^4}}+1}
[/mm]
...und jetzt sieht mans ja deutlich.
Mit meinem Tipp ist es nicht so gut zu zeigen, aber um den Grenzwert schnell im Kopf zu bestimmen, ist diese quadratische Ergänzung immer hilfreich - man "sieht" sofort, dass die Wurzel durch [mm] (n^2+\tfrac{1}{2}) [/mm] für größer werdendes n immer besser angenähert wird.
Deine Korrektoren wollen aber bestimmt lieber den Weg hier oben sehen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
Danke für die Hilfe !
Jetzt haben sich bei mir alle fragen geklärt.
MfG
Marmik
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