Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:43 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | [mm] a_{n}= \bruch{(-1)^{n-1}n-2}{(-1)^{n}n+2}
[/mm]
[mm] b_{n}= \bruch{(-1)^{n-1}n-2}{n+2} [/mm] |
Ich möchte die Folgen auf Konvergenz überprüfen.
Weiß aber nicht welches Kriterium ich jeweils anwenden muss.
Kann mir jemand erklären, wie ich so was entscheiden kann.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Guck dir in beiden Fällen mal die 2 Teilfolgen [mm] a_{2k} [/mm] und [mm] a_{2k+1} [/mm] (bzw. mit b) an, also die Teilfolgen der geraden und der ungeraden Indizes. So stören dich die [mm] (-1)^n [/mm] nicht mehr.
Nun betrachte hier den Grenzübergang $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
für [mm] a_{2k} [/mm] bekomme ich nach dem umformen -1 raus
für [mm] a_{2k-1} [/mm] schreibe ich es mal ganz auf
= [mm] \bruch{(-1)^{(2k-1)-1}(2k-1)-2}{(-1)^{2k-1}(2k-1)+2}
[/mm]
weiß aber nicht wie ich das vereinfachen kann.
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Hallo Balsam,
> für [mm]a_{2k}[/mm] bekomme ich nach dem umformen -1 raus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für [mm]a_{2k-1}[/mm] schreibe ich es mal ganz auf
> = [mm]\bruch{(-1)^{(2k-1)-1}(2k-1)-2}{(-1)^{2k-1}(2k-1)+2}[/mm]
> weiß aber nicht wie ich das vereinfachen kann.
Na, was steht denn da in den Exponenten?
Im Zähler: [mm](-1)^{(2k-1)-1}=(-1)^{2k-2}=(-1)^{2(k-1)}=(-1)^{\text{etwas gerades}}=1[/mm]
Im Nenner steht [mm](-1)^{\text{etwas ungerades}}=-1[/mm]
Welcher GW ergibt sich also für [mm]a_{2k-1}[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Der GW ist -1 für [mm] a_{2k-1} [/mm] und für [mm] a_{2k}= [/mm] -1
was sagt mir das jetzt aus?
aber was passiert mit [mm] \bruch{(2k-1)-2)}{(2k-1)+2} [/mm] kürzt sich das weg?
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Hallo nochmal,
> Der GW ist -1 für [mm]a_{2k-1}[/mm] und für [mm]a_{2k}=[/mm] -1
> was sagt mir das jetzt aus?
Na, du hast die gesamte Folge durch die beiden Teilfolgen mit geraden und ungeraden Indizes abgedeckt.
Beide TF konvergieren und das gegen denselben Wert [mm]-1[/mm]
Damit ist [mm]-1[/mm] der GW der "Gesamt"Folge
>
> aber was passiert mit [mm]\bruch{(2k-1)-2)}{(2k-1)+2}[/mm] kürzt
> sich das weg?
Das ist die Teilfolge [mm]b_{2k-1}[/mm] bei der 2ten Folge, oder?
Fasse zusammen zu [mm]\frac{2k-3}{2k+1}[/mm] und klammere [mm]k[/mm] oder [mm]2k[/mm] aus ...
Dann kürzen und [mm]k\to\infty[/mm]
Ganz analog für die TF [mm]b_{2k}[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
> Na, du hast die gesamte Folge durch die beiden Teilfolgen
> mit geraden und ungeraden Indizes abgedeckt.
>
> Beide TF konvergieren und das gegen denselben Wert [mm]-1[/mm]
>
> Damit ist [mm]-1[/mm] der GW der "Gesamt"Folge
Ok. Danke!
>
> Das ist die Teilfolge [mm]b_{2k-1}[/mm] bei der 2ten Folge, oder?
Nein, das war die TF von [mm] a_{2k-1}, [/mm] aber kommt wahrscheinlich auf das gleiche hinaus...
also geht das gegen [mm] \infty [/mm] und somit braucht man das nicht mehr aufschreiben?
>
> Fasse zusammen zu [mm]\frac{2k-3}{2k+1}[/mm] und klammere [mm]k[/mm] oder [mm]2k[/mm]
> aus ...
>
> Dann kürzen und [mm]k\to\infty[/mm]
Ich versuche es jetzt mal für [mm] b_{2k}= \bruch{(-1)^{2k-1}2k-2}{2k+2}
[/mm]
[mm] \bruch{2k-2}{2k+2} \to \infty [/mm]
[mm] =(-1)^{2k}*(-1) [/mm] kann ich dann schreiben [mm] 1^{2k} [/mm] also gerade und [mm] \to \infty [/mm] ?
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Hallo,
> > Das ist die Teilfolge [mm]b_{2k-1}[/mm] bei der 2ten Folge, oder?
>
> Nein, das war die TF von [mm]a_{2k-1},[/mm] aber kommt
> wahrscheinlich auf das gleiche hinaus...
> also geht das gegen [mm]\infty[/mm] und somit braucht man das nicht
> mehr aufschreiben?
schachuzipus meinte wohl eher:
$ [mm] a_{2k-1}=\ldots=\frac{2k-3}{2k+1} =\frac{k(2-3/k)}{k(2+1/k)}=\frac{2-3/k}{2+1/k}\to1, k\to\infty$ [/mm]
> Ich versuche es jetzt mal für [mm]b_{2k}= \bruch{(-1)^{2k-1}2k-2}{2k+2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2k-2}{2k+2} \to \infty[/mm]
>
> [mm]=(-1)^{2k}*(-1)[/mm] kann ich dann schreiben [mm]1^{2k}[/mm] also gerade
> und [mm]\to \infty[/mm] ?
Das was du erhältst ist [mm] $(-1)^{2k-1}=-1$, [/mm] weswegen [mm] $b_{2k}= \bruch{\red{-}2k-2}{2k+2}$.
[/mm]
Jetzt klammerst du z. B. wieder k in Zähler und Nenner aus, damit es sich kürzt:
[mm] $\ldots=\bruch{k(-2-2/k)}{k(2+2/k)}=\frac{-2-2/k}{2+2/k}\to-1,k\to\infty$
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Ok, danke dir
dann habe ich jetzt für [mm] b_{2k} [/mm] divergiert [mm] \to \infty [/mm] (?)
uns für [mm] b_{2k-1}= [/mm] 1 also auch [mm] \to \infty [/mm] ?
Ich kann die Ergebnisse noch nicht umsetzen...
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> Ok, danke dir
>
> dann habe ich jetzt für [mm]b_{2k}[/mm] divergiert [mm]\to \infty[/mm] (?)
Nein. Mit der Schreibweise [mm] $b_{2k}\to-1, k\to\infty$ [/mm] ist gemeint [mm] $\lim_{k\to\infty}b_{2k}=-1$
[/mm]
>
> uns für [mm]b_{2k-1}=[/mm] 1 also auch [mm]\to \infty[/mm] ?
So müsste es heißen:
Für [mm] k\to\infty [/mm] geht [mm] b_{2k-1} [/mm] gegen 1: [mm] \lim_{k\to\infty}b_{2k-1}=1.
[/mm]
Also hat [mm] b_n [/mm] zwei Häufungspunkte, gegen die es jeweils eine konvergente Teilfolge gibt. Was sagt dir das über Konvergenz/ Divergenz von [mm] b_n?
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
> Nein. Mit der Schreibweise [mm]b_{2k}\to-1, k\to\infty[/mm] ist
> gemeint [mm]\lim_{k\to\infty}b_{2k}=-1[/mm]
> Für [mm]k\to\infty[/mm] geht [mm]b_{2k-1}[/mm] gegen 1:
> [mm]\lim_{k\to\infty}b_{2k-1}=1.[/mm]
> Also hat [mm]b_n[/mm] zwei Häufungspunkte, gegen die es jeweils
> eine konvergente Teilfolge gibt. Was sagt dir das über
> Konvergenz/ Divergenz von [mm]b_n?[/mm]
Die hp sind 1 und -1.
Wenn 2 Häufungpunkte vorliegen, ist die Folge unbestimmt divergent
Oder entscheide ich es mit einer Epsilon-Umgebung ?
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Hi
> > Nein. Mit der Schreibweise [mm]b_{2k}\to-1, k\to\infty[/mm] ist
> > gemeint [mm]\lim_{k\to\infty}b_{2k}=-1[/mm]
>
> > Für [mm]k\to\infty[/mm] geht [mm]b_{2k-1}[/mm] gegen 1:
> > [mm]\lim_{k\to\infty}b_{2k-1}=1.[/mm]
> > Also hat [mm]b_n[/mm] zwei Häufungspunkte, gegen die es jeweils
> > eine konvergente Teilfolge gibt. Was sagt dir das über
> > Konvergenz/ Divergenz von [mm]b_n?[/mm]
> Die hp sind 1 und -1.
>
> Wenn 2 Häufungpunkte vorliegen, ist die Folge unbestimmt
> divergent
Ja,bei zwei Häufungspunkten liegt keine Konvergenz vor.
> Oder entscheide ich es mit einer Epsilon-Umgebung ?
Nein.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 20.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe eine Frage zu der Schreibweise, kann ich das auch folgendermaßen machen:
[mm] a_n= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) n-2 }{(-1)^n n+2} [/mm] = [mm] \bruch{(((-1)^(^n^-^1^) n )/n)- 2/n }{(((-1)^n n)/n) +2/n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }
[/mm]
[mm] a_n= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }= \bruch{-1 - 0}{1+0} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{1} [/mm] = -1
[mm] a_n_+_1= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n } [/mm] = [mm] \bruch{1 - 0}{-1+0}= \bruch{1}{-1} [/mm] = -1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n } [/mm] = -1
Die Folge konvergiert gegen -1.
Ist es in Ordnung, wenn ich für jede Folge so vorgehe ?
Also einmal [mm] a_n [/mm] berechnen, für ^n =1 einsetzen, dann [mm] a_n+1, [/mm] für ^n = 2 einsetzen ? Bis jetzt habe ich mit dieser Vorgehensweise immer das richtige Ergebnis herausbekommen, aber die Frage ist jetzt, ob es mathematisch korrekt ist !
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> Ich habe eine Frage zu der Schreibweise, kann ich das auch
> folgendermaßen machen:
>
> [mm]a_n= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) n-2 }{(-1)^n n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(((-1)^(^n^-^1^) n )/n)- 2/n }{(((-1)^n n)/n) +2/n}[/mm]
> = [mm]\bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }[/mm]
>
> [mm]a_n= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }= \bruch{-1 - 0}{1+0}[/mm]
> = [mm]\bruch{-1}{1}[/mm] = -1
>
> [mm]a_n_+_1= \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }[/mm] =
> [mm]\bruch{1 - 0}{-1+0}= \bruch{1}{-1}[/mm] = -1
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n }[/mm]
> = -1
>
> Die Folge konvergiert gegen -1.
>
> Ist es in Ordnung, wenn ich für jede Folge so vorgehe ?
>
> Also einmal [mm]a_n[/mm] berechnen, für ^n =1 einsetzen, dann
> [mm]a_n+1,[/mm] für ^n = 2 einsetzen ? Bis jetzt habe ich mit
> dieser Vorgehensweise immer das richtige Ergebnis
> herausbekommen, aber die Frage ist jetzt, ob es
> mathematisch korrekt ist !
Das ist leider Unsinn. Es wurde in diesem Thread ausführlich gezeigt, dass die Folge von der du nun behauptest, dass sie den Grenzwert -1 hätte, in Wirklichkeit 2 Häufungspunkte hat. Nämlich 1 und -1.
Du kommst hier nicht um eine Betrachtung der Teilfolgen drumherum
EDIT: Siehe nächste Antwort.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 20.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Das ist doch bei der zweiten Aufgabe [mm] b_n [/mm] der Fall ? Man bekommt zwei Werte heraus 1 und -1 , also divergiert die Folge unbestimmt.
Ich rede hier von der ersten Aufgabe und dort konvergiert die Folge doch gegen -1 ?
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Hallo nochmal,
> Das ist doch bei der zweiten Aufgabe [mm]b_n[/mm] der Fall ? Man
> bekommt zwei Werte heraus 1 und -1 , also divergiert die
> Folge unbestimmt.
>
> Ich rede hier von der ersten Aufgabe und dort konvergiert
> die Folge doch gegen -1 ?
Sorry, hatte mich verguckt.
Also dann zur vorherigen Frage:
> $ [mm] \bruch{(-1)^(^n^-^1^) - 2/n }{(-1)^n + 2/n } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1 - 0}{-1+0}= \bruch{1}{-1} [/mm] $ = -1
Dieser Schritt ist mathematisch unsauber. Du hast hier für [mm] (-1)^n [/mm] einfach -1 und für [mm] (-1)^{n-1} [/mm] den Wert 1 eingesetzt. Es ist klar, dass beide entgegengesetztes Vorzeichen haben, aber dass darf nicht so aufschrieben werden. Außerdem hast du an dieser Stelle nirgends notiert, dass du einen Grenzübergang machst.
Der beste Weg ist hier beide Teilfolgen zu betrachten.
Gruß
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