Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 28.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Ist für [mm] a_n =\bruch{3n^3+ün-1}{n^3+1}
[/mm]
3 der Grenzwert?
Weisen Sie die Gültigkeit mit Hilfe der e-Definition nach. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich blicke in meinem Mitschrieb nicht mehr durch. Bräuchte da einen kleinen Denkanstoß für mein Verständnis.
Also ich weiß, dass man bei einer konvergenten Folge um den Grenzwert a eine beliebig (kleine) e-Umgebung wählen kann, und dennoch ab einem gewissen Index n alle Folgeglieder in dieser Umgebung liegen.
Die ersten Schritte sind noch klar.
[mm] |\bruch{3n^3+ün-1}{n^3+1} [/mm] - 3|< e
dann haben wir [mm] a_n-a [/mm] auf einen Bruch geschrieben und ausgerechnet.
[mm] |\bruch{n-4}{n^3+1}| [/mm] (hier ist es noch klar, aber dann...)
[mm] |\bruch{n-4}{n^3+1}|<\[b]|\bruch{n}{n^3+1}<\bruch{n}{n^3}[/b]=\bruch{1}{n^2}
warum darf ich die Brüche einfach so verändern? Woher weiß ich, wie ich diese Brüche verändern muss?
Welches Ziel wird hier überhaupt angestrebt.
HILFE, könnte mich jemand mit dem Zaunpfahl bitte erschlagen.
verzweifelte Grüße
Mira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 28.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mira!
> [mm]|\bruch{n-4}{n^3+1}|[/mm] (hier ist es noch klar, aber dann...)
Ein Variante wäre, diese Unglecihung nach $n \ [mm] \> [/mm] \ ...$ umzustellen. Dies würde in diesem Falle zu einer kubischen Ungleichung mit [mm] $n^3$ [/mm] führen, welche i.a. nicht geschlossen lösbar ist (ja, es gibt spezielle Formeln, die aber doch ziemlich aufwändig sind).
> [mm]|\bruch{n-4}{n^3+1}|<\[b]|\bruch{n}{n^3+1}<\bruch{n}{n^3}[/b]=\bruch{1}{n^2}
Da wir am Ende dieser Kette ein $... \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] stehen haben- unseren Bruch also nach oben abschätzen / begrenzen durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] , machen wir den Bruch einfach mal durch Abschätzen etwas größer.
Diese genauen Abschätzungen bedürfen gerade zu Beginn einiger Übung und sollten auch immer auf einfachere Ausdrücke führen, wie hier [mm] $\bruch{1}{n^2}$ [/mm] .
Denn diese Ungleichung [mm] $\bruch{1}{n^2} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] kann ich nun ohne Probleme nach $n \ > \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}$ [/mm] umformen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 28.08.2007 | | Autor: | miradan |
und weshalb ist somit der Grenzwert bestätigt?
Bin ich denn blöd?
Sorry, wenn ich mich etwas anstelle, doch dieser Punkt ist immens wichtig für viele Aufgaben, die im Examen dran kommen.
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Hallo Mira,
der GW ist bestätigt, weil der abzuschätzende Ausdruck [mm] |a_n-GW| [/mm] ganz links in der Ungleichungskette steht und ganz rechts [mm] \varepsilon [/mm] 
Also so, wie es nach der [mm] \varepsilon-Definition [/mm] aussehen sollte.
Wie Loddar sagte, hast du deine Ausgangsfolge zunächst gegen eine größere abgeschätzt, bei der man das gesuchte [mm] n_0 [/mm] - also den Index desjenigen Folgengliedes, ab dem alle weiteren in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den GW liegen - einfach(er) bestimmen kann.
Für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt also die Abschätzungskette, wie gewünscht.
Was du allerdings in Kauf nimmst, ist die Tatsache, dass dieses so gefundene [mm] n_0 [/mm] vllt. nicht das kleinstmögliche ist, das für deine Ursprungsfolge "passt".
Es passt aber auf jeden Fall, da es für die größere Folge passt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 28.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mira!
Sieh' mal hier, da habe ich das neulich auch versucht zu erklären mit der [mm] $\varepsilon$-Umgebung.
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 28.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der Definition des Grenzwertes, dass die Zahlenfolge
[mm] a_n =\bruch{5n+2}{3n+5}
[/mm]
konvergent ist. |
Heißt das nun, dass ich mit der e-Methode den Grenzwert bestätigen muss?
also [mm] |a_n-a|< [/mm] e
und am Ende irgend ein n bekomme, das von e abhängt? Also dass ich wirklich jedes e > 0 einsetzen kann, sodass ich einen n-Wert bekomme? ist so die Konvergenz schon bestätigt? oder muss ich noch mehr tun?
ich habe das Gefühl, ich bin kurz vorm Verständnis. *hoffentlich*
mira
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Di 28.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mira!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles richtig erkannt!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 28.08.2007 | | Autor: | miradan |
ohne Worte.
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