Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, dass die Folge [mm] (x_n)_n_\in_\IN [/mm] mit [mm] x_n=1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{2^3}+...+\bruch{1}{2^n}
[/mm]
konvergent ist. |
Huhu zusammen,
kann mir jemand weiterhelfen? Ich weiß nicht wie ich hier die Konvergenz zeigen soll.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 25.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo green-bubble!
Bei Deiner Folge handelt es sich um die Reihe einer geometrischen Folge; sprich: um eine geometrische Reihe:
[mm] $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{2^3}+...+\bruch{1}{2^n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1}{2}\right)^k$
[/mm]
Diese geometrische Reihe konvergiert ja für $|q| \ < \ 1$ gegen den Wert [mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Wenn Du hier aber diese Eigenschaften der geometrischen Reihe nicht verwenden darfst, kannst Du ja zeigen, dass Deine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton steigend ist. Daraus folgt unmittelbar die Konvergenz.
Für diese beiden Nachweise bietet sich jeweils vollständige Induktion an.
Gruß
Loddar
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