Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 15.11.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo; folgende Aufgabe liegt mir vor:
Definiere [mm] a_{n}durch a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=1+\bruch{1}{a_{n}}.
[/mm]
Es sei bekannt, dass [mm] g=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] die einzige positive Lösung der Gleichung [mm] g^{2}-g-1=0 [/mm] ist.
Zeigen sie, dass [mm] a_{n}\to [/mm] g konvergiert.
Ich tuhe mich noch ziemlich schwer mit der Konvergenz von Folgen und hoffe ihr könnt mir helfen. Ich weiß, dass ich mir erstmal [mm] a_{n} [/mm] definieren muss und dann zeigen muss, dass [mm] \parallel a_{n}-g \parallel<\varepsilon [/mm] ist. Aber an der Umsetzung fehlt es bei mir!
Vielen Dank und liebe Grüße an alle
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Hallo
Also um die Konvergenz zu zeigen zeigt man am besten das die Folge monoton und beschränkt ist.
für den Grenzwert gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a [/mm]
Wenn du da deine Angabe einsetzt kommst du auf eine quadratische Gleichung. Dann bekommst die zwei Grenzwerte einmal [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] und einmal [mm] \bruch{-\wurzel{5}+1}{2} [/mm] durch die monotonie kannst du dann entscheiden welcher der Richtige ist
ich hoffe das hilft dir weiter
Stevo
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