Konvergenz unendlicher Potenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich würde gerne untersuchen, wieso die Funktion
[mm] $f(x)=x\uparrow\uparrow \infty=x^{x{^{x{^{x{^{x{^{x{^{x{^{x^{...}}}}}}}}}}}}}}$
[/mm]
für alle [mm] $x\in [e^{-e},e^{\frac{1}{e}}]$ [/mm] konvergiert.
Kann mir jemand sagen, wieso dem so ist?
Liebe Grüße und Danke,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Hanno!
Ich glaube, dem ist gar nicht so, denn wenn x = [mm] e^{(e^{-1})}, [/mm] dann gilt für die folgendermaßen definierte Folge:
f(0) := x;
f(n+1) := [mm] f(n)^{x}
[/mm]
die Beziehung:
f(n) = [mm] e^{(e^{n*e^{-1} - 1})}
[/mm]
denn:
f(0) = [mm] e^{(e^{0*e^{-1} - 1})} [/mm] = [mm] e^{(e^{-1})}
[/mm]
und
f(n+1) = [mm] f(n)^{(e^{(e^{-1})})} [/mm] = [mm] (e^{(e^{n*e^{-1} - 1})})^{{(e^{(e^{-1})})}} [/mm] = [mm] e^{(e^{n*e^{-1} - 1})*(e^{(e^{-1})})} [/mm] = [mm] e^{(e^{(n+1)*e^{-1} - 1})}
[/mm]
und diese Folge geht gegen unendlich.
Für beliebige Zahlen x aus [0;1] konvergiert das ganze aber meiner Meinung nach. Denn die Folge f(n) ist für solche x
1) nach oben beschränkt und
2) monoton steigend
Zu 1) S = 1 ist obere Schranke. Für n = 0 gilt f(n) = x <= S. Induktionsschritt: f(n+1) = [mm] f(n)^{x}
[/mm]
1. Fall: x = 0: Wir definieren [mm] f(n)^{0} [/mm] = 1 <= 1 = S
2. Fall: 0 < x <=1: Wir definieren [mm] f(n)^{x} [/mm] = [mm] e^{x*ln(f(n))}. [/mm] Da f(n) <= 1 ist, gilt ln(f(n)) <= 0 und damit x*ln(f(n)) <= 0 und damit [mm] e^{x*ln(f(n))} [/mm] <= 1 = S
Zu 2) Zu zeigen: f(n + 1) >= f(n)
<==> [mm] f(n)^{x} [/mm] >= f(n)
Für x = 0 sowieso wahr. Sei x [mm] \not= [/mm] 0.
<==> [mm] e^{x*ln(f(n))} [/mm] >= f(n)
<==> x*ln(f(n)) >= ln(f(n))
Für f(n) = 1 sowieso wahr. Sei also f(n) < 1.
<==> x <= 1
Das ist wahr.
Gruß
Clemens
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